פרק שני, ובו הכותב מתחבט בכיוונים אליהם יקח את הבלוג, ואז פוצח במסה בה המרחב מסומן במספרים, ואובייקטים משתכנים בו

לפני שנתחיל, אעיר לגבי הבלוג והכתיבה. אין לי מושג איך לכתוב בלוג. אין לי מושג מי הקהל הפוטנציאלי, מי הקהל שאני מעוניין בו ומה הקצב הנכון. במלים אחרות — אני אשמח לכל הערה ושאלה, להצעות לכיוונים אחרים, לתיקונים ולבקשות להבהרות. אתם מוזמנים להגיב כאן, ואני מקווה שככל שהזמן יתקדם הבלוג והכתיבה שלי יתגבשו בצורה כזו או אחרת.

המטרה בפיזיקה היא לתאר התנהגות של מערכות ניסיוניות כלשהן — בין אם הן גלקסיות רחוקות, חומר על-מוליך או חלקיק תת אטומי. הכלי בו משתמשים הפיזיקאים לתאור fההתנהגות הזו הוא המתמטיקה. זו לא בחירה מובנת מאליה: המשורר הגרמני יוהן גתה פרסם ספר שנושאו הפיזיקה של האור, ושתיאר ניסויים שערך גתה בפריזמות. הספר אינו משתמש כלל במתמטיקה ולא רותם אותה להסברת התופעה הפיזיקלית. אבל במהלך ההתפתחות ההיסטורית של הדיסציפלינה הזו הפכה המתמטיקה לכלי המרכזי לתיאור העולם, והתברר שהכלי הזה יעיל מאוד.
אם כך, השאלה הראשונה שעלינו לשאול בבואנו לבחון מערכת כלשהי היא כיצד בכלל לתאר אותה באמצעות המתמטיקה. מכיוון שהפיזיקה עוסקת בתופעות המתקיימות במרחב הפיזי, עלינו ראשית להניח שניתן לתאר את אותו מרחב באמצעות סט של מספרים. אני מתכוון כמובן למה שמכונה מערכת קואורדינטות. אני מניח שכולנו מכירים את הרעיון מימי בית הספר התיכון — בהתחלה עלינו לקבוע נקודה כלשהי כנקודת היחוס שאותה נסמן במספר אפס. כעת, אנחנו יכולים להתאים אוסף מספרים אותו נסמן ב-\vec{q} לכל נקודה במרחב, כך שכל אוסף מספרים שונה יתאר נקודה אחרת. סטודנטים לפיזיקה מבלים חלק לא קטן מהשנה הראשונה ללימודיהם בלימוד שיטות שונות ומשונות של מערכות קואורדינטות וכיצד מציגים כל מני פעולות מתמטיות בכל שיטה. אנחנו, למזלנו, פטורים מכאב הראש הזה. כל מה שעלינו לקבל הוא שאותו סט של מספרים יכול לתאר בצורה טובה כל נקודה במרחב. מערכת הקואורדינטות הפשוטה ביותר, המכונה "קרטזית", כוללת בסך הכל קביעת שלושה כיוונים הניצבים זה לזה וציון מיקום של נקודה כשלושת המרחקים אותם עלינו להתקדם מנקודת האפס בכל כיוון (לדוגמה 20 מ' בכיוון הראשון, 30 מ' בכיוון השני ואז 15 מ' נגד הכיוון השלישי). מכיוון שאנחנו עוסקים במערכות שמשתנות בזמן אנחנו גם צריכים להוסיף משתנה t שיתאר את הזמן בו אנחנו מתארים את המערכת. גם כאן, אנחנו צריכים לקבוע זמן כלשהו בתור "אפס", וזמן לפניו יסומן בערכים שליליים ואחריו בערכים חיוביים.

אחרי שתיארנו את המרחב והזמן בעזרת מספרים, אנחנו צריכים להתחיל להוסיף אובייקטים שמעניינים אותנו לתוך המערכת הזו. לפני שנעשה זאת, ראוי להעיר הערה נוספת: המהפכה שעברה הפיזיקה במחצית הראשונה של המאה ה-20, שכללה את הופעתן ואימוצן של תורת היחסות ותורת הקוונטים, שינתה גם את הדרך בה אנחנו מתייחסים לעצמים הפיזיקליים שאנחנו רוצים לתאר. מכיוון שמדובר בסך הכל בפוסט השלישי בתולדות הבלוג, אין בכוונתי כרגע לצלול לעומק החלוקה, ואשאיר אותה לפוסט עתידי. לעת עתה נסתפק בתיאור הקלאסי של מערכות. בתיאור הזה, המערכת מורכבת מאוסף גופים, שכמו בני האדם בהצהרת העצמאות האמריקאית, ניחנו במספר תכונות בלתי ניתנות לשלילה. התכונה החשובה ביותר מבחינתנו כאן היא שלעצמים אלו מיקום מוגדר במרחב. לכן, אם אני מביט על מערכת שכוללת n עצמים, אני יכול להצמיד לכל אחד מהם מיקום משלו \vec{q}_i כאשר ה-i הוא אינדקס המציין לאיזה עצם במערכת אני מתכוון, וכעת מצב המערכת יאופיין על ידי המיקום של כל העצמים. קרי על ידי אוסף שלשות המספרים \{\vec{q}_i\}_{i=1}^n ועל ידי מסמן הזמן t שאומר לנו באיזה זמן היו העצמים במיקום הזה.

אבל חסר לנו משהו. למה בכלל שלגופים האלה יהיה מיקום שמשתנה? מה יגרום למערכת לזוז, להיות מעניינת? לשם כך עלינו להוסיף עוד דברים, ועל כך — בפוסט הבא.

תגים: , ,

5 תגובות to “פרק שני, ובו הכותב מתחבט בכיוונים אליהם יקח את הבלוג, ואז פוצח במסה בה המרחב מסומן במספרים, ואובייקטים משתכנים בו”

  1. גדי אלכסנדרוביץ' Says:

    הספר של גתה – תוכל לתת דוגמה קטנה למה שנאמר בו? מה ניתן לתאר על ניסויים בפריזמות ללא מתמטיקה?

  2. יובל Says:

    גדי –
    בקישור מופיע הספר במלואו. אם תביט בעמודים 88-89, לדוגמה, תראה תיעוד של ניסוי שגתה ערך, בו הוא מפרט סדר הופעתם של צבעים. מנקודת מבט מודרנית, התיאור הזה פגום — קשה לנו לשפוט מהו בדיוק "צהוב-אדום" ומתי הוא הופך ל-"צהוב". כיום, נאפיין את הצבעים באמצעות אורכי הגל שלהם וכך גם עיוור צבעים יוכל לחזור על הניסוי. אבל בכל זאת מדובר בניסוי פיזיקלי למהדרין, שאפשר לחזור עליו ולבדוק את התוצאות שלו. בעמודים שלאחר מכן גתה מסביר את התופעה הפיזיקלית שהוא תיאר, שוב, ללא מתמטיקה.
    בעמוד 106 תוכל לראות דוגמה נוספת לתיאור תוצאה של ניסוי ללא מתמטיקה, אלא באמצעות ציור (יש דוגמאות נוספות בספר).

  3. תום Says:

    בעקבות ספרו האחרון של מורי ורבי מריו ליביו, אנצל את המשפט על כך שהמתמטיקה התבררה ככלי יעיל מאוד להזמנה להרחבה פילוסופית בנוגע לאופן שבו אתה רואה את היעילות הזאת: האם זאת יעילות שנובעת מכוח טבעי של המתמטיקה, מנוכחותה העצמאית בעולם שאנו רק "חושפים" אותה, או מכך שאנו "ממציאים" אותה בהתאמה לאופן שבו אנו תופסים את העולם ועל כן היא תמיד תואמת את מה שאנחנו רואים בדיסציפלינות אחרות? וכמובן, לא חייבת להיות לך תשובה חד-משמעית על השאלה הזאת, אבל אם יש לך כוח להרחיב קצת על האופן שבו אתה רואה אותה, אשמח.

  4. יובל Says:

    תום –
    זו שאלה טובה, וכמובן שאין לי אליה תשובה חד משמעית.
    המציאות קיימת, וכעת נשאלת השאלה איך ניגשים לתאר אותה. מאוד יתכן שכל כלי קונסיסטנטי מספיק היה מצליח להגיע לתוצאות טובות. אחת הבעיות היא שאני, ואני מניח שכל סטודנט לפיזיקה, רגיל כל כך לחשוב על הפיזיקה באמצעות המתמטיקה שקשה לחשוב על אלטרנטיבה. מהבחינה הזו הספר של גתה מספק הצצה מעניינת להתחלה של אלטרנטיבה כזו. כך שיכול להיות שאנחנו לא חושפים את המתמטיקה בטבע, אלא פשוט מכיוון שבחרנו לחקור אותו באמצעות המתמטיקה אנחנו מגלים אותה בו. זה אולי דומה לעובדה שאני מקווה להזכיר בחלק מהפוסטים הבאים – יש בפיזיקה דרכים שונות להסתכל על אותה התופעה ואפילו לנסח חוקי טבע בסיסיים תוך הסתמכות על כל מני ניסוחים שקולים.
    ואחרי שכתבתי את הצד הזה, כדאי לציין שהמתמטיקה היא כלי באמת נהדר כאן. ולמרות שהיו צריכים להמציא חלקים נרחבים ממנה בשביל הפיזיקה (והרבה פעמים הפיזיקאים עשו שימוש בכלים מתמטיים "לא נאותים" עד שהמתמטיקאים הואילו בטובם להפוך אותם לפורמליים) הרי שבמסגרת הזו היא מאוד מאוד קונסיסטנטית וההישגים שהיא מאפשרת במחקר הטבע, שהם גם מנוסחים בשפה מתמטית, הם מדהימים. יכול להיות – וזה משהו שחשבתי עליו כרגע, אז הוא לא מנוסח לחלוטין – שהכח שלה נובע מכך שהיא כופה על המשתמש בה להיות קונסיסטנטי, עד כמה שאפשר.
    אני צריך לחשוב על זה עוד קצת, ואני מקווה שאוכל להתייחס לכך גם בחלק מהפוסטים הבאים.

  5. פרק רביעי, נטול משוואות, בו מהרהרים על טיבן של מערכות קואורדינטות כשלב הכרחי לפני שמגיעים לקשר העמוק בין סימטריה לגדלים שמורים « בחזרה לנ Says:

    […] בפרק השני כתבתי שאנחנו מתארים את המערכת הפיזיקלית שלנו באמצעות מערכת קואורדינטות. נקודה חשובה כאן היא שמערכת הקואורדינטות היא משהו שאנחנו בוחרים. כלומר משהו אנושי וחיצוני למערכת הפיזיקלית. מכיוון שכך, לבחירת מערכת הקואורדינטות לא יכולה להיות השפעה על שום תוצאה פיזיקלית שנקבל. אם שתי תוצאות שונות מתקבלות משתי מערכות שונות, הרי שעשינו טעות במקום כלשהו. "רגע רגע" אני שומע את הקוראים (אלו שלא נטשו בעקבות המשוואות בפוסט הקודם) קוטעים אותי כאן. "הרי ברור שאם נרצה לתאר תנועה של כדור בחדר, אז בחירה של מערכת קואורדינטות בה ראשית הצירים (האפס) ממוקמת במאדים, לעומת מערכת קואורדינטות בה ראשית הצירים נמצאת באותו חדר בו הכדור נמצא, תוביל לתשובה שונה לשאלה 'איפה ממוקם הכדור?' הלא כן? במקרה השני נגיד שהכדור ממוקם בנקודה (1 מטר ימינה, 4 מטרים קדימה ועשרים סנטימטרים למטה) ואילו במקרה הראשון נגרוס שמיקום הכדור הוא (54.7 מיליון קילומטרים ימינה, חצי מיליון קילומטרים קדימה ושלושים סנטימרים למעלה)" והתשובה היא "כמובן שכן". יותר מכך — אם נתאר גוף שנע במהירות קבועה, ונבחר מערכת צירים ש-"רוכבת" על הגוף הזה, כלומר נתאר את העולם מנקודת מבטו של מישהו שנמצא על הגוף, הרי שמבחינתנו הגוף יהיה קבוע. מהירותו תהיה אפס. לעומת זאת, מבחינת מישהו שרואה אותנו חולפים על פניו לגוף תהיה מהירות. נאמר שאנחנו יושבים בתוך רכב שנוסע במהירות קבועה ומחזיקים כדור. מבחינת מי שעומד ברחוב, לכדור יש מהירות (ששווה למהירות הרכב). מבחינת מי שיושב ברכב, הכדור עומד במקום. שני הצופים, שבסך הכל בחרו מערכת קואורדינטות שונה, חלוקים לגבי שאלות מרכזיות כמו "מהי האנרגיה הקינטית של הכדור?". […]

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s


%d בלוגרים אהבו את זה: