פרק רביעי, נטול משוואות, בו מהרהרים על טיבן של מערכות קואורדינטות כשלב הכרחי לפני שמגיעים לקשר העמוק בין סימטריה לגדלים שמורים

הפוסט הקודם הכיל כמות נכבדת של מתמטיקה ומשוואות ונגזרות בתוכו, דבר שהביא מספר אנשים להעיר בפני שקוראים ללא רקע מדעי בוודאי ילכו בו לאיבוד. סטיבן הוקינג אמר, בהתייחס לספרו "קיצור תולדות הזמן", שכל משוואה מפחיתה את מספר הקוראים בחצי. מכיוון שהספונסרים שלי רמזו לי שהם לא רואים בעין יפה הפחתה בחצי של מספר הקוראים בשלב הנוכחי, הפוסט הזה יהיה נטול משוואות כמעט לגמרי.

אחת ההרצאות הזכורות לי ביותר מהתואר הראשון היתה הרצאה בקורס "מכניקה אנליטית" בה הוצג לראשונה הקשר בין סימטריות בטבע וגדלים שמורים. אני זוכר את ההתרגשות שאחזה בי כשראיתי שכל מני כותרות כמו "חוק שימור האנרגיה" או "חוק שימור התנע הזוויתי" הן בעצם התגשמויות של תכונת הסימטריה. בפוסט הזה אני אנסה להסביר איך בדיוק הדבר הזה עובד, אבל לפני זה יש צורך להרחיב מעט על הנושא של מערכת הקואורדינטות.

בפרק השני כתבתי שאנחנו מתארים את המערכת הפיזיקלית שלנו באמצעות מערכת קואורדינטות. נקודה חשובה כאן היא שמערכת הקואורדינטות היא משהו שאנחנו בוחרים. כלומר משהו אנושי וחיצוני למערכת הפיזיקלית. מכיוון שכך, לבחירת מערכת הקואורדינטות לא יכולה להיות השפעה על שום תוצאה פיזיקלית שנקבל. אם שתי תוצאות שונות מתקבלות משתי מערכות שונות, הרי שעשינו טעות במקום כלשהו. "רגע רגע" אני שומע את הקוראים (אלו שלא נטשו בעקבות המשוואות בפוסט הקודם) קוטעים אותי כאן. "הרי ברור שאם נרצה לתאר תנועה של כדור בחדר, אז בחירה של מערכת קואורדינטות בה ראשית הצירים (האפס) ממוקמת במאדים, לעומת מערכת קואורדינטות בה ראשית הצירים נמצאת באותו חדר בו הכדור נמצא, תוביל לתשובה שונה לשאלה 'איפה ממוקם הכדור?' הלא כן? במקרה השני נגיד שהכדור ממוקם בנקודה (1 מטר ימינה, 4 מטרים קדימה ועשרים סנטימטרים למטה) ואילו במקרה הראשון נגרוס שמיקום הכדור הוא (54.7 מיליון קילומטרים ימינה, חצי מיליון קילומטרים קדימה ושלושים סנטימרים למעלה)" והתשובה היא "כמובן שכן". יותר מכך — אם נתאר גוף שנע במהירות קבועה, ונבחר מערכת צירים ש-"רוכבת" על הגוף הזה, כלומר נתאר את העולם מנקודת מבטו של מישהו שנמצא על הגוף, הרי שמבחינתנו הגוף יהיה קבוע. מהירותו תהיה אפס. לעומת זאת, מבחינת מישהו שרואה אותנו חולפים על פניו לגוף תהיה מהירות. נאמר שאנחנו יושבים בתוך רכב שנוסע במהירות קבועה ומחזיקים כדור. מבחינת מי שעומד ברחוב, לכדור יש מהירות (ששווה למהירות הרכב). מבחינת מי שיושב ברכב, הכדור עומד במקום. שני הצופים, שבסך הכל בחרו מערכת קואורדינטות שונה, חלוקים לגבי שאלות מרכזיות כמו "מהי האנרגיה הקינטית של הכדור?".

אם כך, הקביעה הגורפת שאף תוצאה פיזיקלית לא יכולה להיות תלויה בבחירת מערכת הקואורדינטות, על אף שהיא נכונה לחלוטין, דורשת הבהרה. ניסוח מדויק יותר יהיה שבהנתן שתי מערכות קואורדינטות שמתארות את אותה המערכת, וכללי מעבר בין מערכת קואורדינטות אחת לשניה, אז התוצאות צריכות להיות זהות. אם לחזור לדוגמא אותה נתתי, של אדם היושב ברכב ואדם שעומד ברחוב: אם נקרא לכיוון נסיעת המכונית ציר x ונגיד שבזמן אפס המכונית בדיוק חלפה על פני האדם שעומד ברחוב, הרי שכלל המעבר הוא "יש להוסיף לקואורדינטה x במערכת הקואורדינטות של האדם במכונית את מכפלת מהירות המכונית בזמן שחלף". אם נקפיד על כלל המעבר הזה, שני האנשים יסכימו ביניהם על כל תיאור פיזיקלי. כללי המעבר בין מערכות קואורדינטות נקראים "טרנספורמציות", ואוסף של טרנספורמציות יוצר את המבנה המתמטי של חבורה. גדלים פיזיקליים שונים מתנהגים תחת הטרנספורמציות הללו בצורה שונה, ואפשר לסווג גדלים פיזיקליים לפי הצורה בה הם עוברים. הסיווג מתבצע באמצעות הכלי המתמטי המכונה טנזור, שמניסיוני הוא אחד המושגים שמרתיעים סטודנטים לפיזיקה. אולי בפוסט עתידי אני אנסה להסביר בדיוק כיצד משתמשים בטנזורים ומה המשמעות שלהם, אבל לעת עתה אין בכך צורך.

אני מקווה שהבהרתי למה הכוונה בכך שיש לנו חופש לבחור את מערכת הקואורדינטות. התנאי היחידי שחשוב שיישמר הוא שמערכת הקואורדינטות שנבחר באמת תוכל לספק תיאור מלא של מיקומי כל הגופים במערכת. בפיזיקה קלאסית, אם אנחנו נמצאים במרחב תלת-ממדי, הרי שכל גוף צריך להיות מתואר על ידי שלושה מספרים המתארים את מיקומו. בנוסף לכך אנחנו מוסיפים את פרמטר הזמן. אם אנחנו מתארים, לדוגמא, מערכת בה יש שני גופים צריכים להיות לנו ששה מספרים שונים לתיאור מצב המערכת (+פרמטר זמן) ואם שלושה גופים אז תשעה מספרים וכן הלאה. כל עוד המספרים הללו בלתי תלויים, ואפשר להסיק מהם את מיקום הגופים, הרי שמערכת הקואורדינטות לגיטימית. לבחירה נבונה של מערכת הקואורדינטות יש חשיבות להבנת המערכת, ולעתים בעיות שנראות מסובכות במערכת אחת הופכות לפשוטות בהרבה במערכת אחרת: ממש כמו בדמוקרטיה, כל בחירה היא חוקית ולגיטימית, אבל עדיין יש בחירות חכמות ויש בחירות מטופשות.

אחרי שהנקודה הזו הוסברה, אפשר להגיע לחלק המרכזי של הפוסט: הקשר בין הסימטריות, כפי שהן באות לידי ביטוי בטרנספורמציות השונות, לבין המושג הכל-כך חשוב הזה בפיזיקה שנקרא גדלים שמורים. אני חושב שנוח להעזר בדיון הזה בדוגמאות.

נדמיין לרגע גוף חופשי לגמרי (נאמר – כדור קטן). שום כח לא פועל עליו, הוא מתקיים בחלל ריק לחלוטין. המשמעות של היות הכדור חופשי היא שבכל מצב שנכין את המערכת (שכוללת את הכדור בלבד) היא תשאר. אם התחלנו בכך שלכדור יש מהירות מסוימת, הרי שהכדור ימשיך במהירות זו לנצח. מכאן ברור שיש הרבה גדלים פיזיקליים שהם גדלים שמורים — שום דבר לא משתנה במערכת. כיצד יבוא הדבר לידי ביטוי מבחינה מתמטית? פונקציית הלגרנז'יאן (או ההמילטוניאן) של המערכת לא תשתנה תחת כל טרנספורמציית קואורדינטות שנעשה. מכיוון שפונקציית הלגרנז'יאן קשורה לדינמיקה של המערכת, ברור שהתכונה הזו — האינווריאנטיות תחת טרסנפורמציות מסוימות — תבוא לידי ביטוי דרך משוואות התנועה. נביט לדוגמא על טרנספורמציה שפשוט מזיזה את ראשית הצירים במרחק מסוים לאורך ציר x. כלומר בכל מקום בו כתוב בפונקצייה x נכתוב x+\delta x. אחרי שינוי כזה נגלה שהלגרנז'יאן לא השתנה בכלל. הוא אינווריאנטי להזזות בציר x (במקרה הזה הוא אינווריאנטי להזזות בכל ציר שהוא). מסתבר שתכונת הסימטריה הזו גוררת את קיומו של גודל שמור במערכת — התנע של הגוף בציר x. קוראים שמעוניינים בכך יכולים לחזור לפוסט הקודם ולראות בעצמם כיצד הסימטריה גוררת את הגודל השמור הזה (רמז: לפתח בטור לפי \delta x ולראות מה מתאפס).

הגענו לתגלית חשובה, שאפשר להכליל אותה לכל מערכת: אם מערכת פיזיקלית אינווריאנטית להזזות בקואורדינטה q_i מסוימת הרי שהתנע הצמוד לקואורדינטה הזו p_i נשמר! הכוונה בכך שהמערכת אינווריאנטית היא שהלגרנזי'אן שמתאר אותה הוא אינווראינטי להזזות, והכוונה בכך שהתנע נשמר הוא שאם מדדנו את התנע בשני זמנים שונים, נקבל את אותה התוצאה. לעובדה שגודל מסויים נשמר במערכת חשיבות מבחינה מעשית והוא עוזר לנו לתאר את המערכת ואת הדינמיקה שלה.

דוגמא נוספת: נבחן מערכת ובה שני גופים, שמפעילים כח אחד על השני התלוי במרחק ביניהם. דוגמא פשוטה לכך היא שני גופים בעלי מטען חשמלי, שהכח שפועל ביניהם דועך עם ריבוע המרחק. כעת, כזכור, עלינו להשתמש בשש קואורדינטות על מנת לתאר את המערכת — שלוש לכל אחד מהגופים. המערכת לא אינווריאנטית להזזות של כל אחד מהגופים — הזזה כזו תשנה את המרחק ביניהם, ותשנה את הכח ביניהם — ולכן גם פונקציית הלגרנז'יאן שלנו לא אינווריאנטית לטרנספורמציה כזו. אבל ברור שאם נזיז את שני הגופים יחדיו הרי שהמערכת לא תשתנה, כי המרחק ביניהם ישאר קבוע. הדרך לנצל את הסימטריה הזו היא לעבור לקואורדינטות אחרות: נתאר את המערכת לפי מיקום הגופים אחד ביחס לשני (שלושה מספרים) ומיקום נקודת האמצע בין הגופים (שלושה מספרים). ברור ששת המספרים הללו מתארים את המערכת בדיוק כמו ששת המספרים המקוריים. מהשישיה החדשה אפשר להסיק את השישיה הישנה, וההפך. אבל עכשיו, הזזה של שני הגופים בעת ובעונה אחת באה לידי ביטוי בשינוי בקואורדינטה אחת — כזו הקשורה לנקודת האמצע בין הגופים. לכן, באופן מיידי, אנחנו יכולים לומר שהתנע הצמוד לקואורדינטה הזו הוא גודל שמור (ויש שלושה כאלו). ליתר דיוק, במקרים כאלו צריך לעבור לקואורדינטה שמתארת את מרכז המסה של הגופים, אבל זהו עידון טכני שלא נתעכב עליו עכשיו. שימו לב שזהו לא תנע של אחד מהגופים, אלא תנע שקשור לקואורדינטה מסוימת שבעזרתה אנחנו מתארים את המערכת.

ישנם מקרים בהם אנחנו לא יכולים למצוא סימטריה כזו. דוגמא פשוטה במיוחד היא גוף שנמצא תחת השפעת כח המשיכה של כדור הארץ ואנחנו רוצים לתאר את תהליך נפילתו. כמובן שהמרחק של הגוף מפני כדור הארץ הוא פרמטר חשוב. ללגרנז'יאן שמתאר את הבעיה אין אינווריאנטיות להזזות בקואורדינטה המתארת את הגובה של הגוף מעל פני כדור הארץ. זה מקרה בו יש לנו כח חיצוני שפועל על הגופים במערכת. אם היינו מכלילים במערכת גם את כדור הארץ, היינו מקבלים מקרה דומה למקרה הקודם — כח המשיכה בין הגופים תלוי במרחק ביניהם, והתנע הצמוד למרכז המסה נשמר. אבל מהלך כזה, במקום לפשט את התיאור שלנו של המערכת, רק יסבך אותה. באותה מידה, אם נתאר גוף המחובר לקפיץ הקשור לקיר, נוכל לקבל סימטריה להזזות אם נכלול את הקפיץ ואת הקיר במערכת, אבל התיאור רק יסתבך כל כך שיצא שכרנו בהפסדנו.

אוקיי, דיברנו על אינווריאנטיות תחת הזזות. הבה נכיר סימטריה נוספת שנפוצה וחשובה מאוד במערכות פיזיקליות: סימטריה לסיבובים. נחזור לאחת מהדוגמאות לעיל, רק שנלביש אותה במלבוש חדש. במקום שני חלקיקים הטעונים במטען חשמלי, נביט על מערכת השמש שלנו, ו-"נזרוק" החוצה את כל אותם כוכבי לכת מיותרים שהם לא כדור הארץ. אם כך, אנחנו מעוניינים בחקירת סיבוב כדור הארץ סביב השמש. כפי שהערתי, גם כח המשיכה הגרביטציוני בין שני גופים תלוי רק במרחק ביניהם. לכן אם נסובב את מיקומו של כדור הארץ ביחס לשמש בזווית מסוימת \delta\varphi נקבל שהמערכת נותרה ללא שינוי. המרחק בין הגופים אינו מושפע מסיבובים כאלו. מכאן, בחירת קואורדינטות מתאימות תאפשר לנו להפוך את הלגרנז'יאן לאינווריאנטי תחת סיבובים בקואורדינטות מסוימות. גם במקרה יש גודל שמור חשוב מאוד שנגזר מהסימטריה הזו והוא התנע הזוויתי.

הדוגמאות שהבאתי להלן נובעות מחוק כללי יותר, לפיו כל סימטריה רציפה גוררת גודל שמור. כך סימטריה להזזות בזמן הופכת את האנרגיה לגודל שמור, סימטריה לפאזות של שדות מרוכבים גוזרת את חוק שימור המטען, וכן הלאה. החוק הזה, שהוא אחד מהיפים בפיזיקה, התגלה, נוסח והוכח על ידי הפיזיקאית-מתמטיקאית אמי נתר בתחילת המאה ה-20. לאחרונה גיליתי שנתר אף פתחה בלוג, אם כי הוא לא מתעדכן באופן תכוף (יתכן בשל נסיבות בריאותיות). מי שמעוניין בהוכחה היפה עצמה יכול לקרוא אותה כאן, ואני עשוי להקדיש לה בעתיד פוסט בפני עצמה.

החוק אותו גילתה אמי נתר הוא חוק שנעשה בו שימוש שוב ושוב בכל תחומי הפיזיקה, גם כשאנחנו בוחנים סימטריות מעניינות יותר מאשר "סתם" סימטריה להזזות או לסיבובים (כמו לדוגמה במקרה של תורת היחסות הפרטית, שמוסיפה סימטריה של "דחיפות") וגם כשאנחנו מתקדמים מעבר לפיזיקה קלאסית אל התחום של תורת הקוונטים. הסימטריות במערכת פיזיקלית מכתיבות חלק גדול מההתנהגות שלה, והן כלי חשוב מאין כמוהו שעוזר לנו לתאר את המציאות שסביבנו. הפוסט הזה יכול לשמש לכל היותר רק כמבוא צנוע לתחום המרתק הזה.

תגים: , , , , , ,

8 תגובות to “פרק רביעי, נטול משוואות, בו מהרהרים על טיבן של מערכות קואורדינטות כשלב הכרחי לפני שמגיעים לקשר העמוק בין סימטריה לגדלים שמורים”

  1. דניאל Says:

    קודם כל, פוסט מצוין!

    עכשיו, אני דווקא חושב שהיה עוזר אם היית מראה את ההוכחה שאינווריאנטיות להזזה גוררת שימור תנע – זו דוגמה פשוטה יחסית והיא מראה מפורשות דוגמה של חוק נתר, מה שלי אישית לפחות, היה עוזר.

    אני די בטוח שמשוואות רק יעזרו לקוראי הבלוג, למרות שאני לא לגמרי בטוח מה הרכבם הדמוגרפי (סליחה על הביטוי), אני מנחש שרובם(ן) יודעים(ות) לקרוא משוואות.

    כל הכבוד, בכל מקרה!
    מחכה לאינווריאנטיות לשינוי סקלה (אם זה באמת קשור לרה-נורמליזציה, כמו שאני מנחש)

  2. יובל Says:

    תודה על התגובה, דניאל.

    האמת היא שהתלבטתי מאוד לגבי זה, ובגרסאות הראשוניות היו הוכחות לא רק לזה אלא גם לשימור התנע הזוויתי ולשימור האנרגיה. אבל מכיוון שאני עדיין לא יודע מי קהל הקוראים, החלטתי בסוף לנסות ולכתוב משהו נטול משוואות. אני אשמח לקבל פידבק מקוראים אחרים לגבי הכיוון הזה (ובכלל, כל ביקורת היא רק לטובה).

    לגבי האינווריאנטיות לשינוי סקלה – בהחלט יש קשר הדוק לרה-נורמליזציה. על קצה המזלג: בנקודה קריטית (כלומר הנקודה ששולטת על התנהגות המערכת בטווחים ארוכים) מערכת פיזיקלית מתאפיינת באינווראינטיות לשינויי סקלה. זה בא לידי ביטוי בהתבדרות של מרחק הקורלציה. אנחנו מגיעים לנקודה הזו באמצעות שימוש בחבורת הרה-נורמליזציה. אבל זו הקדמת המאוחר.

  3. אורי Says:

    אחלה פוסט, מאוד מעניין.
    אני יכול להצטרף לדניאל כמייצג של פלח אוכלוסיה שישמח לראות קצת משוואות…
    יש לי שאלה אבל: לא ברור לי מאיפה יודעים איזה אינווריאנטות המערכת צריכה להציג. אתה כותב "אבל ברור שאם נזיז את שני הגופים יחדיו הרי שהמערכת לא תשתנה" – כאן זה אולי ברור, אבל מה לגבי מערכות הרבה יותר מסובכות, או חוקים הרבה יותר מסובכים? איך יודעים אז?

  4. יובל Says:

    אהלן אורי,

    חלק מהסימטריות הן סימטריות שאנחנו יודעים תמיד לחפש, כי הן נפוצות מאוד. גם במערכות עם הרבה חלקיקים, לדוגמה (שהן המערכות שבתחום המחקר שלי), אם כל האינטראקציות תלויות רק במרחק בין החלקיקים, הרי שהזזה כוללת של המערכת לא תשנה אותה. כמו כן – אם המערכת מנותקת מהסביבה, אז האנרגיה שלה תשמר. בדרך כלל הסימטריות הללו באות לידי ביטוי בצורה המתמטית שאנחנו נכתוב את ההמילטוניאן והלגרנז'יאן של המערכת. או – מזווית אחרת – נוכל להווכח בהן כשנבחן את הפונקציות הללו. אם אין לי תלות מפורשת בקואורדינטה כלשהי, אז ברור שהמערכת אינווריאנטית להזזה בה. אם אין לי תלות מפורשת בזמן – כנ"ל.
    גם סימטריות יותר מורכבות או עדינות לפעמים מתגלות באמצעות שימוש באינטואיציה, אבל בהחלט יש פעמים בהן קשה למצוא את הסימטריה. אחת הדוגמאות היפות שאני מכיר היא במערכת קפלרית – לדוגמה סיבוב כוכב לכת סביב שמש. יש גודל וקטורי שנשמר שנקרא וקטור לפלס-רונגה-לנץ והסימטריה שקשורה אליו בכלל לא טריביאלית.
    התרגול שהכי נהניתי להעביר השנה (ואני מניח שגם בשנה הבאה) היה התרגול בו פתרתי את רמות האנרגיה של אטום המימן תוך הסתמכות על הסימטריה הזו (ההמילטוניאן של אטום המימן במכניקה הקוונטית דומה לזה של מערכת קפלרית). קל מאוד לראות שלהמילטוניאן של אטום המימן יש סימטריה המיוצגת על ידי החבורה SO(3) (סיבובים מלאים ב-3 ממדים) אבל בעזרת אותו גודל נשמר אפשר להראות שלמעשה הסימטריה שלו גדולה יותר, והיא מיוצגת על ידי החבורה SO(4) (סיבובים ב-4 ממדים), ולהבדל הזה יש משמעות מבחינת רמות האנרגיה של המערכת.
    אין לסימטריה הזו אנלוג אינטואיטיבי שאני יכול לתאר במלים. הטרנספורמציה תחתיה ההמילטוניאן אינווריאנטי היא איזו פעולה מתמטית מורכבת.

  5. רונן Says:

    איימי נטר נפטרה לא זה מכבר, אז כנראה לא היא כותבת את הבלוג "שלה".

    חוץ מזה, פוסט מרתק. הייתי ממש שמח לו היו מסבירים לי דברים ככה כאני למדתי מכניקה אנליטית (או שהסבירו, אבל אני לא הייתי מספיק בשל כדי להבין). באופן כללי, בלוג מרתק. אני מאוד אשמח אם תביא הוכחות ודוגמאות (עם מספרים, וסימנים והכל :-) ) לדברים שאתה חושב שראוי.

    פתרון רמות האנרגיה של אטום המימן באמצעות SO4? לא מכיר. אני אשמח להפניה..

  6. יובל Says:

    רונן – תודה רבה.

    לגבי אמי נתר – כן, לכך התכוונתי כשהערתי על הנסיבות הבריאותיות.

    לגבי SO(4) – התחלתי לכתוב הוכחה מפורטת אבל זה יצא מאוד מאוד ארוך (אפילו בהשמטת החלקים הטכניים). מצאתי באינטרנט מעין מאמר שמסכם יפה מאוד את ההוכחה. אם יש לך שאלות לגבי חלקים במאמר – אני אשמח לענות.

  7. רונן Says:

    ממש יפה, אבל בנתיים יש לי בעיה עם נוסחא (12).
    so(3) איזומורפי ל -su(2).
    למיטב ידיעתי, su(2) איזומורפי ל- so(3)*(+1,-1).. ואני מתקשה להבין מה לא בסדר שם.

  8. יובל Says:

    רונן –
    אלגברת לי של SU2 (הסוגריים כאן זה ממש זוועה) איזומורפית לאלגברת לי של SO3 מעצם העובדה שיחסי החילוף של היוצרים זהה, ולכן לוח הכפל הלוקלי (סביב היחידה) זהה. זה נכון שמבחינה טופולוגית SU2 לא איזומורפית ל-SO3 (היא כיסוי כפול שלה) אבל האלגברת-לי כן איזומורפית.
    בכל מקרה, באופן יחסי זוהי נקודה לא קריטית. אתה יכול "לא לקבל" את העובדה הזו ולהמשיך עם יתר ההוכחה. מה שחשוב הוא הפירוק של SO4 לסכום ישר של שתי חבורות SO3.

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s


%d בלוגרים אהבו את זה: