פרק שלישי, ובו אנחנו נותנים לגופים לנוע, צוללים קצת לתוך המתמטיקה שמאחורי הדינמיקה ופוגשים בטווידלדי וטווידלדם של הפורמליזם הפיזיקלי, הם הלגרנז'יאן וההמילטוניאן

את הפרק הקודם חתמנו בכך שביקשנו לתאר את מצב המערכת בכל רגע נתון, באמצעות תיאור המיקום של כל אחד מהגופים המרכיבים אותה. במלים אחרות, אפשר לומר שאנחנו מחפשים את אוסף הפונקציות \{\vec{q}(t)_i\}_{i=1}^n, קרי — פונקציות שלכל זמן t מתאימות את מיקום הגופים. בהמשך הדרך נפגוש גם מערכות בהן נחפש דברים אחרים, או מערכות שתיאור כזה לא רלבנטי עבורן, אבל לעת עתה זוהי נקודה מספיק כללית כדי שנוכל להשתמש בה כעוגן להמשך החקירה שלנו.
כעת אנחנו יכולים רגע להרהר בשאלה כיצד אנחנו יכולים להשיג מטרה כזו? המערכת מתחילה ממצב מסוים, שידוע לנו (נניח — באמצעות תצפית או כי כך הכנו את המערכת) \{\vec{q}(0)_i\}_{i=1}^n. בנוסף לכך, חשוב שזמן t=0 נדע גם מהן המהירויות של כל הגופים — לא דין מערכת בה שני גופים נעים זה לקראת זה כדין מערכת בה שני גופים נעים בכיוונים הפוכים. כעת, כל מני כוחות שפועלים על האובייקטים גורמים להם לשנות את מיקומם ולנוע. כדי להסיק את מצב המערכת בכל רגע נתון, אנחנו צריכים לדעת מחד מהם החוקים והמשפטים הקושרים בין הכח שפועל על גוף לבין תנועתו, ומאידך מהם הכוחות הקיימים במערכת.
את החוקים הקושרים בין כוחות ואינטראקציות לבין אובייקטים חוקרים פיזקאים החל מקיום הפיזיקה המודרנית. כנראה שהחוק המפורסם ביותר מסוג זה הוא החוק השני של ניוטון לפיו תחת כח, גוף יאיץ באופן פרופורציונלי לגודל הכח ולכיוונו, כאשר קבוע הפרופורציה מכונה המסה של הגוף. בניסוח מתמטי, ניתן לכתוב


\vec{F}=m\vec{a}

כאשר \vec{F} הוא הכח הפועל על הגוף, m היא מסתו ו-\vec{a} היא התאוצה שלו. מכיוון שאנחנו רוצים לבטא את כל הגדלים המציינים את מיקום האובייקטים, ובכללם תאוצה, באמצעות אותו אוסף של \vec{q}-ים אנחנו נשתמש בסימון \vec{a}=\ddot{\vec{q}}. נקודה מעל משתנה כלשהו מציינת גזירה לפי הזמן. לכן \dot{\vec{q}} היא המהירות של הגוף — שכן היא הנגזרת הראשונה של המיקום ביחס לזמן, ושתי נקודות תציינה את הנגזרת השניה, או הנגזרת של המהירות, שהיא התאוצה.
מאז ניסוח החוק השני של ניוטון חלפו אי אלו מאות שנים, במהלכן הניסוח איבד את מעמדו כחוק בסיסי (מלבד בלימודי השנה הראשונה באוניברסיטה). במהלך השנים הללו התפתח פורמליזם נוח יותר, כללי יותר — במובן שהוא יכול לתאר יותר תופעות — שהחוק השני הוא בסך הכל אחת מהתוצאות שלו. הפורמליזם הזה מסתמך על מושג האנרגיה (לפחות בשלב הראשון). אם אנחנו יודעים לכתוב ביטויים שיתארו את האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של המערכת כפונקציה של המצב שלה — וזה משהו שאנחנו אמורים לדעת לעשות אם אנחנו יודעים מהן האינטראקציות השונות שקיימות בין האובייקטים השונים ובכלל — אז נדע לגזור מביטוי כזה (או, ליתר דיוק מביטוי דומה לו) את כל כללי התנועה.
כדי לעשות זאת אנחנו מציגים את פונקציית הלגרנז'יאן L. הלגרנז'יאן של מערכת הוא פונקציה של מיקום כל האובייקטים שבה, ושל מהירויות כל האובייקטים בה (וגם, באופן כללי, עשויה להיות תלויה מפורשות במשתנה הזמן)

L=L(\{\dot{\vec{q}}_i\}_i^{n},\{\vec{q}_i\}_i^{n},t)

כך שעבור כל קונפיגורציה כזו של המערכת, הלגרנז'יאן הוא ההפרש בין האנרגיה הקינטית לבין האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת.
בפסקאות האחרונות הפרחתי לחלל האוויר הוירטואלי שני מושגים חדשים, ואני מבקש להתעמק רגע במונחים הללו.
הגודל הפיזיקלי שנקרא "אנרגיה" עשוי להראות חמקמק, גם לבעלי ידע פיזיקלי כלשהו. לרוב, בלימודי הפיזיקה, מתחילים מהמושג של "כח", אותו מגדירים, פחות או יותר, באמצעות החוק השני של ניוטון. אחר כך מראים שבאמצעות החוק השני של ניוטון אפשר להגדיר "עבודה" שמבצע כח, ו-"אנרגיה קינטית" היא הגודל שמושפע מהעבודה שמבצע כח על גוף כלשהו. אם הכח נופל תחת הקטגוריה של כח משמר, אנחנו לומדים שאפשר להגדיר "אנרגיה פוטנציאלית" וממשיכים להראות איך הסכום של שתי האנרגיות — פוטנציאלית וקינטית — נשמר תחת פעולת הכח. תחת ההגדרות הללו, האנרגיה הקינטית של גוף מתקבלת מהנוסחה

E_k = \frac{1}{2}m\left( \dot{\vec{q}} \right)^2.

האנרגיה הפוטנציאלית תלויה באינטראקציות בין האובייקטים השונים ובכוחות שפועלים במערכת, וניסוחה משתנה כתלות בהם. לדוגמה, האנרגיה הפוטנציאלית של גוף הקשור לקפיץ בעל קבוע קפיץ k נתונה על ידי הנוסחה

U=\frac{1}{2}k\left(\vec{q}-\vec{x}_0 \right)^2

כש-\vec{x}_0 הוא מיקום קצה הקפיץ כאשר הוא רפוי. אבל זו כרגע סתם דוגמה (אם כי פופולרית מאוד).
על פניו, הייתי יכול לטעון פשוט שבניגוד למתמטיקה, בה יש לנו חופש לבחור אקסיומות, בפיזיקה אנחנו מתארים את העולם, ולעתים אנחנו צריכים לקבל דברים כי פשוט "ככה הם". ואכן – יש מספר דברים שנאלץ לקבל כי פשוט "ככה הם". אבל מסתבר, וזה אחד הדברים היפים בפיזיקה, שיש הרבה עובדות שבתחילה נראו לנו פשוט כמו משהו שהטבע בחר באופן שרירותי, אבל בעצם הן נובעות מאלמנטים בסיסיים הרבה יותר. אחת מהם הוא הגדרת האנרגיה והקשר שלה לתנועת המערכת. כבר בפוסט הבא אני מקווה שאוכל לתת מספר דוגמאות לכך.
בכל מקרה, אמנם הגדרנו את אותה פונקציית לגרנז'יאן מסתורית, אבל עוד לא אמרנו איך אנחנו יכולים להסיק ממנה את תנועת המערכת.
המערכת שלנו יכולה לנוע בכל מני מסלולים שונים, המוגדרים, כזכור על ידי אוסף הפונקציות \vec{q}_i(t). נניח שאנחנו מסתכלים על פרק הזמן המתחיל ב-0 ומסתיים בזמן \tau. לכל מסלול אפשרי בפרק הזמן הזה נצמיד מספר, שנקרא הפעולה:

S=\int_0^{\tau}L(\vec{q}_i(t),\dot{\vec{q}}_i(t),t)dt

כלומר הפעולה היא בסך הכל האינטגרל על הלגרנז'יאן של המערכת כאשר היא עושה מסלול מסוים. כאן אנחנו מגיעים לאחד מאותם חוקים בודדים שאותם עלינו לקבל כי פשוט "ככה הם": המערכת תנוע במסלול בו הפעולה שלה היא המינימלית מבין כל האפשרויות. זהו עקרון הפעולה המינימלית.
אני מבקש לעצור כאן לרגע, לפני שנמשיך הלאה: מדובר בעקרון כל כך בסיסי, שלמעשה את כל הפיזיקה הקלאסית אפשר לבסס עליו. כאשר תורת הקוונטים פותחה במהלך המאה ה-20, הוקדשו מאמצים ונסיונות רבים לבסס אותה על עקרון דומה, עד שלבסוף ריצ'רד פיינמן הצליח בכך, ולמעשה הראה שעקרון הפעולה המינימלית הקלאסי מתקבל מתוך הגרסה הקוונטית שלו. אחד המרצים שלי בתואר הראשון כינה את החוק אליו הגיע פיינמן בשם "חוק החוקים", כי ממנו, בנוסף לעוד מספר קטן של הנחות יסוד, אפשר להסיק את כל הפיזיקה המודרנית.
מתוך העקרון הזה, ישנן מספר דרכים שקולות לגזור משוואות, שפתרונן יספק לנו את אותו אוסף הפונקציות המתארות את תנועת המערכת. אולי ארתיע מספר קוראים, אבל אני חושב שראוי להציג לפחות אחת מהדרכים הללו, והיא משוואות אוילר-לגרנז'. קוראים שאינם מתעניינים בניסוחים המתמטים וצירוף המלים "משואות דיפרנציאליות" נשמע להם כמו קללה, מוזמנים לדלג לפסקה הבאה. אפשר להראות שאם אוסף הפונקציות שלנו מקיים את אוסף המשוואות הדיפרנציאליות מסדר שני

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{q}}} \right) = \frac{\partial L}{\partial \vec{q}}

אזי המסלול שהן תתארנה יציית לעקרון הפעולה המינימלי. כלומר — הפעולה שתתואר על ידי המסלול הזה תהיה המינימלית מבין הפעולות האפשריות. אני אפנה את תשומת לב הקוראים שנותרו עימי כאן שמדובר ב-n משוואות דיפרנציאליות מסדר שני (אפשר גם לחשוב עליהן בתור 3n משוואות שכן כל משוואה היא עבור שלושה רכיבים שונים של הוקטור \vec{q}) ואנחנו מספקים להן אכן 2n תנאי התחלה — אוסף כל המיקומים בזמן אפס ואוסף כל המהירויות בזמן אפס.
קיים ניסוח שקול נוסף לעקרון הפעולה המינמלית, ניסוח שהוא מאוד פופולרי ומאוד שימושי, ולמעשה ברוב המקרים אנחנו כנראה נתמקד בו ולא בניסוח הלגרנז'יאני. קודם כל נגדיר משתנה שנקרא תנע

\vec{p}_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{q}}_i}

וכעת, באמצעות פעולה מתמטית פשוטה על הלגרנז'יאן נגדיר את הפונקציה האחות שלו — שנקראת המילטוניאן:

H(\{\vec{p}_i\}_{i=1}^n,\{\vec{q}_i\}_{i=1}^n) = \sum_i \vec{p}_i \dot{\vec{q}}_i - L

וראוי לשים לב שההמילטוניאן הוא פונקציה של הגודל החדש שהגדרנו ושל המקום בלבד (ולא של המהירויות). בתור תרגיל חביב לקוראים שמעוניינים בכך, קל להראות שמשוואות אוילר-לגרנז' שקולות למשוואות המילטון, שמתארות את הדינמיקה בפורמליזם של ההמילטוניאן:

\dot{\vec{p}}_i = -\frac{\partial H}{\partial \vec{q}_i}
\dot{\vec{q}}_i = \frac{\partial H}{\partial \vec{p}_i}

אפשר לקחת נשימה עמוקה — גמרנו עם הפורמליזם המתמטי היבש לעת עתה. חשוב להבין שכל הניסוחים שלמדנו, וגם ניסוחים נוספים שעליהם דילגנו, שקולים זה לזה ונובעים זה מזה. במובן הזה הם דומים לתאומים טווידלדי וטווידלדם, שאומרים אותו דבר, רק בצורות אחרות. זוג התאומים הזה ילווה אותנו רבות בהמשך מסענו, וידריך אותנו לאורכה. אני מקווה שהם יאירו פנים יותר מזוג התאומים שאליס פגשה. בפוסט הבא אני מתכנן להתחיל לדבר על אחד הנושאים היפים יותר שיש בפיזיקה, והוא הקשר בין הסימטריות בטבע לבין גדלים פיזיקליים.

תגים: , , , , , , , , , , ,

תגובה אחת to “פרק שלישי, ובו אנחנו נותנים לגופים לנוע, צוללים קצת לתוך המתמטיקה שמאחורי הדינמיקה ופוגשים בטווידלדי וטווידלדם של הפורמליזם הפיזיקלי, הם הלגרנז'יאן וההמילטוניאן”

  1. פרק רביעי, נטול משוואות, בו מהרהרים על טיבן של מערכות קואורדינטות כשלב הכרחי לפני שמגיעים לקשר העמוק בין סימטריה לגדלים שמורים « בחזרה לנ Says:

    […] משתנה במערכת. כיצד יבוא הדבר לידי ביטוי מבחינה מתמטית? פונקציית הלגרנז'יאן (או ההמילטוניאן) של המערכת לא תשתנה תחת כל […]

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s


%d בלוגרים אהבו את זה: