פרק שישי, ובו הרהור פילוסופי על אנטרופיה וחץ הזמן, והסיפור האכזרי והלא יאמן על בולצמן התם ולוכשמידט האכזר

בפרק הקודם הגדרנו את הגודל הזה שנקרא "אנטרופיה", וראינו מהי משמעותו של החוק השני של התרמודינמיקה: במערכת סגורה, האנטרופיה תגיע למקסימום. עם התקדמות הזמן האנטרופיה הולכת בכיוון אחד — מעלה. כשניסינו לתת לאנטרופיה משמעות מעבר לנוסחה המתמטית שלה — משמעות ב-"נפנופי ידיים" — כינינו אותה מדד ל-"אי הסדר" שבמערכת. בסוף הפוסט, בתור דוגמה, אמרתי שאם נניח ספל קפה חם בחדר ממוזג, אחרי זמן מה האנרגיה מספל הקפה תתפזר על פני כל החדר. המצב ההפוך — בו האנרגיה מכל החדר מתרכזת לספל הקפה — מייצג הקטנה של האנטרופיה ולכן לא יקרה.

אני מניח שרובכם, גם אם לא הנהנתם בראשכם למקרא הדוגמה הזו, לא הופתעתם ממנה. האינטואיציה האנושית שלנו מסתדרת יפה עם הרעיון הזה. אף אחד, הרי, לא מצפה שבאמת כל האנרגיה מהחדר תתרכז לכוס.

ובכן — במובן מסוים, נאיבי להחריד, הפיזיקאים דווקא כן מצפים שדבר כזה יקרה.

אני מניח שרובכם, גם אם לא הופתעתם מהמשפט האחרון, בוודאי רוצים להצביע על בעיה כלשהי במה שכתבתי. כפי שכתבתי אך בפסקת הפתיחה — ראינו כבר כיצד הפיזיקה, באמצעות שימוש במתמטיקה, דווקא מצליחה להסביר את התופעה הזו. אם כך — למה התכוונתי כשאמרתי שהפיזיקאים דווקא מצפים לכך שהאנרגיה מכל החדר תתרכז בכוס? כדי לפשט ולסייע בהבנה, נתמקד במערכת אותה כבר תיארנו בפרק הקודם: כדורי ביליארד המתנגשים זה בזה ללא אבדן אנרגיה. המערכת הזו יכולה לתאר בצורה יעילה גם את האנרגיה בכוס הקפה ההיפותטית לעיל — האנרגיה מועברת בין חלקיקי החומר באמצעות התנגשויות דומות לאלו של כדורי הביליארד.

אם כך, הבה נתבונן בהתנגשות אחת בודדת בין שני כדורים. דמיינו שאני מקרין בפניכם סרט של ההתנגשות: לא ניתן לקבוע אם הסרט מוקרן "קדימה" בזמן או "אחורה" בזמן! הסיבה לכך שאנחנו לא יכולים לדעת את זה, מהתבוננות בהתנגשות בודדת, היא הסימטריה להיפוך בזמן של חוקי הפיזיקה. כל התנגשות בין שני כדורים יכולה להתרחש בסדר הפוך ממה שהיא התרחשה, וחוקי הפיזיקה יהיו תקפים בדיוק באותה מידה.

וכאן אנו מגיעים לסתירה לכאורה: מתוך אוסף של התנגשויות שכל אחת מהן סימטרית להיפוך בזמן, ולכן חסרת כיוון זמן מוגדר, מופיע גודל — האנטרופיה — שעם הזמן רק גדל. כלומר הגודל הזה נותן כיוון לזמן. אם אני אקרין בפניכם סרט המראה כוס קפה קרה המתחממת כאשר האנרגיה מהחדר מתרכזת בה, יהיה לכולם ברור שהסרט מוקרן מהסוף להתחלה. אבל כל התנגשות בודדת בין מולקולות המתועדת בסרט ההיפותטי הזה לא יכולה לחשוף את העובדה הזו. המערכת נשלטת על ידי חוקים האדישים לכיוון הזמן, אבל בצורה קסומה כלשהי יש לה כיוון זמן מוגדר! אני מציע לקוראים לעצור כאן לרגע, לחשוב על הסתירה הזו ולראות אם אתם יכולים להעלות דרכים ליישובה.

הפיזיקאי הגרמני לודוויג בולצמן היה הראשון להגדיר את האנטרופיה. הוא החל מתיאור מערכת דינמית הדומה לכדורים המתנגשים שלנו, ומתוך ניתוח דינמי של המערכת הוא הגדיר גודל שסומן באות H והראה שהוא קטן עם הזמן. הגודל הזה הוא פשוט מינוס האנטרופיה שהגדרנו בפרק הקודם. ראוי להתעכב כאן ולהעיר שהתיאור של בולצמן מקיף יותר מהתיאור שלנו בפרק הקודם, כיוון שהוא מתאר גם את הדינמיקה של המערכת, ולכן יכול לשמש גם לתיאור המערכת מחוץ לשיווי משקל, לדוגמה.

הסתירה בה אנו דנים כעת — בין הסימטריה בזמן של חוקי הפיזיקה לאותו גודל שהצלחנו לחלץ המציג הפרה בוטה של הסימטריה הזו, הטרידה כבר את בני תקופתו של בולצמן. הפיזיקאי והכימאי יוהן לוכשמידט ניסח את הבעיה הזו בפרדוקס הקרוי על שמו, והצטרף לרבים אחרים שתקפו את בולצמן בשל אותה H-Theorem מגונה שהוא ניסח, שהראתה את חד הכיווניות של הזמן. לסיפורנו, לצערי, סוף עגום. בולצמן, שההתקפות שספג הצטרפו לדכאון ממנו סבל גם כך, שם לבסוף קץ לחייו ב-1906, בגיל 62.

הבה ננסה ליישב את הפרדוקס. ראשית, ראוי לציין שהפרשנות שלי היא אחת אפשרית בלבד, ולוקטה מקריאה פה ושם של מספר ניתוחים של הבעיה (המאמר בקישור מומלץ במיוחד). מבחינה פרדיגמטית, אם אינני טועה, אין תשובה מוסכמת לפרדוקס הזה, ונראה שהוא לא מטריד יתר על המידה את העוסקים בתחום (ולטעמי העובדה הזו הופכת את כל הסיפור הזה למעניין פי כמה וכמה). נקודת המפתח כאן, לדעתי, היא העובדה שהאנטרופיה היא גודל סטטיסטי מטבעו, שמתבסס על חוסר הידיעה שלנו את כל הפרטים על המערכת. המוטיבציה לניתוח הסטטיסטי, שהוביל לבסוף להגדרת האנטרופיה, היתה זניחת התיאור המדויק של המערכת. אם אנחנו נדע לתאר את המערכת בצורה מדויקת אין כל טעם בשימוש בכלים של הפיזיקה הסטטיסטית: המערכת נמצאת במצב מסוים, ואנחנו יודעים בדיוק לתאר באיזה מצב היא תהיה. המושג של האנטרופיה — שמתאר התפלגות סטטיסטית של המצב של המערכת — מאבד את משמעותו בסיטואציה כזו. מכאן אנחנו יכולים להסיק שבעצם למערכת נתונה ברגע נתון אין בעצם אנטרופיה. מכיוון שהמערכת נמצאת במצב מסוים מוגדר מאוד, אין כל טעם לדבר על ההתפלגות של המצבים בהם היא יכולה להמצא. האנטרופיה מקבלת משמעות כשאנחנו מדברים על מערכת מסוימת לאורך פרקי זמן ארוכים מספיק (שיכולים להיות קצרים מאוד במונחים אנושיים) או על אוסף של מערכות. רק אז, כשאנחנו מוכנים לזנוח את הרדיפה אחר ידע מדויק, אנחנו יכולים להנות מהכלים שמאפשרים לנו לדבר על הסתברויות.

כאשר אנחנו מחליפים את התיאור המדויק של המערכת בתהליך בו המערכת עוברת בין התפלגויות שונות של מצבים, אנחנו זורקים חלק מהמידע שיש לנו על המערכת. בתיאור מדויק, אנחנו יכולים לצעוד "אחורה" בזמן ולדעת בדיוק מה היה מצב המערכת לפני זמן מסוים, ולצעוד "קדימה" בזמן ולדעת בדיוק מה הוא יהיה לאחר שזמן מה יחלוף. כשאנחנו מדברים על התפלגות סטטיסטית של מצב המערכת, אנחנו לא יודעים מאיזה מצב המערכת הגיעה למצב הנוכחי. בדיוק כאן טמון חץ הזמן. הגידול באנטרופיה מייצג תהליך של אבדן אינפורמציה לגבי ההיסטוריה של המערכת (לא לחינם מושג האנטרופיה אומץ עבור תורת האינפורמציה). אבדן האינפורמציה הזה הוא החום שעובר במערכת, והויכוחים לגבי אופיו של אותו גודל מסתורי וחמקמק אותו אנחנו מכנים "חום" ליוו את השנים הראשונות להתפתחותה של התרמודינמיקה כמדע. אבל עוד על כך, אני מקווה, נוכל לדבר בפרק הבא, בו גם נגדיר ונבין את מושג הטמפרטורה.

אני מקווה שלודוויג בולצמן, פיזיקאי דגול, נח על משכבו בשלום.

תגים: , , , , , , , ,

6 תגובות to “פרק שישי, ובו הרהור פילוסופי על אנטרופיה וחץ הזמן, והסיפור האכזרי והלא יאמן על בולצמן התם ולוכשמידט האכזר”

  1. דניאלצ Says:

    קודם כל פוסט מאוד מעניין.
    מה שמטריד אותי בהסבר האפשרי שנתת הוא העובדה שאתה לא מפריד בין העובדה שאנחנו לא *יודעים* מה מצב המערכת ברגע נתון (ולכן קשה לנו לתאר אותה), לבין העובדה שיש לה (האמנם?) מצב נתון כזה.
    לכאורה, אין סיבה פיזיקלית שהמצב הנתון שלה כרגע לא יגרום לכוס הקפה שלי להתחמם ספונטנית, למרות שהייתי שמח שזה יקרה מדי פעם.
    במילים אחרות, אני לא בטוח שזה שאנחנו לא יודעים לתאר את מצב המערכת מיישב את הפרדוקס, אבל בהחלט יתכן שאני טועה.

  2. יובל Says:

    דניאל –
    המערכת בהחלט נמצאת במצב נתון, אבל כשהיא נמצאת במצב נתון וברגע נתון אין טעם לדבר על אנטרופיה, או טמפרטורה. הגדלים הללו הם גדלים סטטיסטיים, וההגדרה שלהם תקפה לאנסמבל של מערכות, או למערכת אחת כשאנחנו מבצעים ממוצע על פני זמן (וכאמור – פרק זמן ארוך מספיק עשוי להיות עדיין קצר מאוד במונחים אנושיים).
    לכן בהחלט יתכן שברגע נתון האנרגיה בחדר תתרכז באזור אחד יותר מהשני, אבל על פני משך זמן מסוים הסטטיסטיקה היא מה שתקבע.
    חשוב על התפלגות בולצמן. לכל מצב יש סיכוי כלשהו, אבל ההנחה שלנו היא שהמערכת נמצאת במצבים למשך זמן פרופורציוני להסתברות שלהם, ולכן מצבים עם הסתברות אפסית למעשה לא ייוצגו בממוצע שלנו. עדיין, פורמלית, המערכת "מבקרת" במצבים הללו למשך שברירי שניה.
    בנוסף לכך (וקשור לכך, כמובן), כשהמערכת היא גדולה כמו חדר וכוס קפה, אז בהחלט יתכן שמתישהו כל האנרגיה תתרכז לכוס הקפה, אבל זה יקרה פעם באיזושהי כפולה של זמן היקום. אז לא הייתי מחכה לזה יותר מדי.

  3. סמילי Says:

    הבעיה, אם אני מבין נכון, היא שטמפרטורה היא גם גודל מדיד. וכל המדידות שלנו מראות על טמפרטורה חיובית. החוק השני של בולצמן אמנם מראה שהאנטרופיה לא יכולה לגדול (תחת כל יני הנחות סטטיסיטות), אבל אם הופכים את כיוון הזמן, אז אותו חוק בדיוק יראה לנו שהיא גם לא יכולה לקטון, לכן אפשר היה לצפות לטמפרטורה מדידה קרובה מאד לאפס. למעשה זה לא מה שאנחנו רואים. היתה איזו הרצאה בטד שאם הבנתי נכון ניסתה להסביר את הפרדוקס הזה בעזרת ההנחה שאנחנו נמצאים מאד קרוב למפץ הגדול (ז"א, הכדורים רק לפני שניה היו היו מסודרים בפינה).

  4. יובל Says:

    סמילי – אני חושב שמושג הטמפרטורה לא יכול להיות מנותק ממושג האנטרופיה ולכן מפרשנות סטטיסטית של הגדלים הנמדדים. כשאני מודד טמפרטורה, נניח באמצעות מדחום, אני בעצם מודד שינוי בנפח. הקשר שאני יודע לקשור בין השינוי בנפח לבין הטמפרטורה קשור להתפלגות הסטטיסטית של המערכת הנמדדת (הכספית במדחום). כלומר אני לא חושב שלמערכת בודדת ברגע נתון – כלומר מערכת שנמצאת במצב נתון כלשהו – יש טמפרטורה. בדיוק כפי שאין לה אנטרופיה. אני יכול לדבר על טמפרטורה ועל אנטרופיה של מערכת רק בתוך הקשר של התפלגות המצבים שלה.

    אבל בכל מקרה, הסרטון של ההרצאה נהדר, ואני חושב שהוא יכול לשמש כתחליף לפוסט הזה (או כתוספת נחמדה, אם מישהו כבר קרא את הפוסט).

  5. אורי Says:

    הי יובל, אחלה פוסט, תודה.
    זכור לי שראיתי פעם משהו, שבעצם יש איזה הנחה סמויה של סיבתיות דטרמיניסטית בכל הדיון הזה. כלומר אם לא מניחים סיבתיות הפרדוקס נעלם (או משהו כזה – כאמור, אני לא זוכר…). כמובן שויתור על סיבתיות הוא נושא בפני עצמו.

  6. יובל Says:

    הי אורי –
    דרך אחת שאני יכול לחשוב עליה בה הפרדוקס נעלם אם זונחים את הסיבתיות היא כזו: אם אין סיבתיות, אז מצב המערכת עכשיו יכול לנבוע מכל מצב שהוא בעבר. כלומר אם אנחנו לא יכולים להסיק שבאמת התנגשות בין שני כדורים תוביל תמיד לאותה התוצאה, הרי שבמבט על מצב המערכת אנחנו לא יכולים לקדם אותה "אחורה" בזמן. במצב כזה כמובן שאין פרדוקס. עם זאת, זניחה כזו של הסיבתיות גם די זורקת לפח את כל הפיזיקה. בעיית האינדוקציה של יום תקפה תמיד, מבחינה פילוסופית. אף אחד לא יכול להבטיח לנו שמחר חוקי הפיזיקה כפי שאנחנו מכירים אותם יפסיקו לעבוד, ובעצם הם לא חוקים אלא סתם אוסף הכללות שבצענו על סמך כל מני תצפיות שעשינו בעבר. פיזיקאים צריכים פשוט להתעלם מהבעיה הזו כדי להמשיך בחיי היום יום שלהם. בינתיים זה עובד.
    הקשר בין זניחת הסיבתיות לפתרון הפרדוקס שאתה מכיר הוא דומה לטענה לעיל או שהוא אחר? יהיה מעניין אם תוכל להזכר איפה קראת על זה.

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s


%d בלוגרים אהבו את זה: