פרק 7, ובו אנחנו מגלים שהמציאות מורכבת יותר מהדרך בה תיארנו אותה עד כה, לומדים על מודלים ומהם הכללים בבנייתם, ועושים הכרות ראשונית עם מודל שילווה אותנו עוד רבות בעתיד

הערת פתיחה: בפוסט הקודם כתבתי שסוף סוף נוכל להגדיר מהי טמפרטורה, אך כשניגשתי לכתוב את הפוסט הרלבנטי גיליתי שההצמדות לדוגמה של הכדורים המתנגשים מגבילה ומסבכת הכל. מכיוון שבכל מקרה תכננתי מתישהו להציג את הכלי אותו אני אציג כאן, החלטתי שמוטב לעשות זאת מוקדם ככל האפשר. ההגדרה וההסבר על הטמפרטורה יחכו למועד מאוחר יותר.

בפרקים הקודמים השתמשתי בדוגמה של כדורי ביליארד המתנגשים זה בזה — דוגמה אהובה על פיזיקאים. הכדורים בדוגמא שלי התנגשו זה בזה בצורה פשוטה, והתנהגו כאובייקטים נקודתיים לכל דבר ועניין. אבל זו כמובן תמונה שאינה מציאותית. הכדורים מורכבים ממספר עצום של אטומים, הקשורים זה לזה באינטראקציות בין-אטומיות, והתנגשות בין שני כדורים היא תהליך בו מספר עצום של אטומים הקרובים לפני הכדורים השונים מגיבים זה עם זה. גם ההנחה שלנו שהכדורים הם באמת כדורים אינה נכונה — במהלך ההתנגשות צורתם משתנה, לדוגמה.

מה שהשתמשנו בו היה מודל לתיאור המציאות. במודל שלנו הכדורים היו כדורים מושלמים, שאינם משנים את צורתם, והם התנגשו זה בזה בצורה פשוטה. כל מערכת פיזיקלית אמיתית מורכבת מדי מכדי לתארה בצורה מדויקת. אפילו הבעיה של רמות האנרגיה של אטום המימן, שסטודנטים לפיזיקה במהלך התואר הראשון פותרים אותה "במדויק", מבוססת על תמונה מקורבת בלבד של המציאות, שכן התמונה האמיתית מסובכת מדי. לשם כך אנחנו נזקקים למודלים. במהלך בניית המודל אנחנו זורקים החוצה חלקים גדולים מהפרטים המרכיבים את המציאות, במטרה לקבל תיאור שהוא טוב דיו כדי להסביר את התהליכים שאנחנו רואים. במקרה של כדורי הביליארד, מכיוון שאנחנו מעוניינים בסך הכל בתיאור ההתנגשויות בין האובייקטים ובמסלולים שלהם בעקבות ההתנגשויות, זו היתה הנחה סבירה להתעלם מהמבנה הפנימי המורכב של הכדורים, ולהתייחס לכל כדור כאל אובייקט יחיד. אם היינו מעוניינים לתאר מה קורה לכדור ביליארד כאשר מוחצים אותו במכבש, היינו חייבים להתייחס למבנה הפנימי שלו ולקשר בין האטומים השונים המרכיבים אותו. אופיו של קשר זה יקבע, לדוגמה, כמה כח ידרש כדי לרסק את כדור הביליארד. ברור שתיאור לפיו כדור הביליארד הוא אובייקט שבלתי ניתן לחלוקה יכשל בתסריט הזה. בדומה לכך, ואם להשתמש בדוגמה פחות אלימה, אם היינו מעוניינים לבחון כיצד הצבע נשחק מכדורי ביליארד במהלך ההתנגשות, היינו חייבים להתייחס למבנה העדין של מולקולות הצבע העוטף את הכדור.

במקרה של אטום המימן, שגם עליו אני רוצה להתעכב, התמונה מעניינת אף היא. מבלי להכנס לפרטי הפרטים של התורה הקוונטית, אנחנו בעצם מסדרים את האינטראקציות השונות המכתיבות את התנהגות האלקטרון לפי עצמתן היחסית. מה שאנו פותרים במדויק הוא את המודל המכיל את האינטראקציות הדומיננטיות ביותר (בדגש על הקשר האלקטרומגנטי בין האטום לאלקטרון). הפתרון הזה נותן תמונה ראשונית מצוינת של רמות האנרגיה. אך כאשר מסתכלים מקרוב, רואים שרמות מסוימות מתפצלות, ושנדרש דיוק נוסף אם אנחנו רוצים לתאר את הפיצול. הפיצולים נובעים משורה של אינטראקציות חלשות יותר (ואף של אפקטים יחסותיים), שאנחנו יכולים להוסיף למודל, וכל תוספת כזו משפרת מצד אחד את מידת הדיוק שלנו, אך מקשה מצד שני על הפתרון של המודל. וגם לאחר שמוסיפים את כל המורכבויות הללו, עדיין לא מתמודדים עם העובדה שהפרוטון באטום עצמו מורכב מקוורקים, לדוגמה.

אם כך, המודל הוא כלי חשוב ביותר בניסיון שלנו להבין את המציאות הפיזיקלית. הוא כלי שנועד להתמודד עם העובדה שכל תיאור מדויק לחלוטין של מערכת פיזיקלית לא יאפשר לנו לחשב שום גודל משמעותי, בשל המורכבות העצומה והפרטים המרכיבים כל מערכת אמיתית. לכן המודלים בהכרח אינם מדויקים. האתגר הוא יצירת מודל שמצד אחד יהיה מורכב מספיק כך שיצליח לתאר את התופעה הפיזיקלית שמעניינת אותנו, ומצד שני יהיה פשוט מספיק כך שנוכל לחשב מתוכו גדלים מעניינים, גם אם לא נוכל לפתור אותו במדויק.

אחד המודלים השימושיים ביותר והנפוצים ביותר במחקר פיזיקלי — ולא רק בו — הוא מודל שפותח לראשונה כדי לתאר את תופעת המגנטיות בחומר. כפי שידוע לכולנו, ישנם חומרים שלאחר שנפעיל עליהם שדה מגנטי ישארו ממוגנטים, ו-"יזכרו" את העובדה שהופעל עליהם שדה מגנטי, ויש כאלו שלא. השאלה מהי הפיזיקה המתארת את התופעה הזו היא שאלה עתיקת יומין אך למעשה רק לאחר פיתוח תורת הקוונטים ניתן היה לענות על השאלה באופן רציני. לאטומים המרכיבים כל חומר יש מומנט מגנטי המכונה "ספין", והסיבה לקיומו של מומנט זה נובעת מתורת הקוונטים ומתורת היחסות הפרטית.

ב-1925 הגיש ארנסט אייזינג (Ising) את עבודת הדוקטורט שלו בהנחיית פרופסור וילהלם לנץ (Lenz) באוניברסיטת המבורג. עבודת הדוקטורט תיארה מודל שנועד להסביר את תופעת המגנטיות של חומרים שונים. המודל הזה, שנקרא על שם אייזינג (שזכה כך לתהילת עולם), הוא מופת למעט המחזיק מרובה. על אף שהתיאור של הפיזיקה הוא כמעט קריקטורה, וההזנחות שמבוצעות בבניית המודל הן רחבות, הפיזיקה שהמודל מניב עשירה ומורכבת, ומתארת תופעות אמיתיות בצורה נהדרת.

אני אציין רק חלק מההזנחות והקירובים שעושה המודל, ואתאר זאת בתהליך מסודר ככל האפשר: האטומים בחומר אמיתי קשורים זה לזה באמצעות קשרים בין-אטומיים שונים, הקובעים את מיקומם. במקום תיאור זה מניח מודל אייזינג שריג של אטומים בעלי מיקום קבוע ולא משתנה. הספין של האטומים הוא גודל קוונטי, שצריך להיות מתואר על ידי אופרטורים מתאימים ונשלט על ידי משוואת שרדינגר. במקום זאת מודל אייזינג מניח ספינים קלאסיים — פשוט חצים בעלי גודל קבוע שמכוונים לכיוון מסוים ומתארים את כיוון המומנט המגנטי, אך בעוד הספינים האמיתיים יכולים להיות מכוונים לכל כיוון שהוא, במודל אייזינג אפילו החופש הזה נלקח מהם, ונותרים להם שני כיוונים בלבד: "למעלה" ו-"למטה", או +1 ו--1 בהתאמה. במציאות הספינים באטום מסוים מקיימים אינטראקציה עם השדה המגנטי החיצוני וכן עם כל הספינים האחרים בחומר, בעצמה שתלויה במרחק ביניהם ובגורמים נוספים. במודל אייזינג הספינים מקיימים אינטראקציה רק עם הספינים השכנים להם, והאינטראקציה הזו פשוטה להחריד — שני ספינים באותו כיוון תורמים כמות אנרגיה -J למערכת, וספינים בכיוונים מנוגדים תורמים אנרגיה J. בנוסף לכך הספינים מגיבים עם השדה המגנטי החיצוני.

אם כך, במקום עולם מורכב אנחנו נותרים עם אוסף של חצים הממוקמים על פני שריג, ויכולים כל אחד להצביע למעלה או למטה. ההמילטוניאן שמתאר את המערכת נתון על ידי הביטוי הפשוט


H=-J\sum_{\langle i,j \rangle}S_iS_j-\mu h\sum_i S_i

כאשר S_i הוא הספין ה-i וערכו הוא אחד או מינוס אחד, הסכום הראשון הוא על זוגות סמוכים של ספינים, והסכום השני הוא על כל הספינים במערכת. h הוא השדה המגנטי החיצוני ו-\mu גודל המתאר את הצימוד של הספינים לשדה המגנטי. וזהו. זה כל המודל. שימו לב מה המודל מניח — ספינים מגיבים זה עם זה כך שיש משמעות האם ספינים שכנים מצביעים לאותו כיוון או לכיוונים מנוגדים, כלומר ספינים "ירצו" להצביע לאותו כיוון כמו שכניהם או לכיוון הפוך משכניהם (ובעתיד נבין כיצד אנו יכולים לקבוע זאת), וכמו כן הספינים מושפעים מקיומו של שדה מגנטי חיצוני. מסתבר שהמודל הזה יכול להסביר הן בצורה איכותית והן בצורה כמותית מספר רב של תופעות מגנטיות.

נקודה חשובה, קריטית מאין כמוה לסיפורנו, נוגעת למימד של המערכת. אנחנו יכולים לחשוב על השריג כעל שריג חד ממדי — פשוט שורה ארוכה של ספינים. במצב כזה השכנים של כל ספין, עימם יש לו אינטראקציה, הם שניים בלבד — זה שמימינו וזה שמשאלו. בשריג דו ממדי לכל ספין ארבעה שכנים: שמאל, ימין, למעלה ולמטה. ובשריג תלת ממדי לכל ספין ששה שכנים. שום דבר לא מונע מאיתנו להמשיך ולהוסיף ממדים, ולמעשה למודל באינסוף ממדים (בו השכנים של כל ספין הם כל יתר הספינים) יש חשיבות דידקטית.

אייזינג רצה בתהחלה לפתור את המודל בשלושה ממדים (בשלב הנוכחי, "לפתור" פרושו "להצליח לחלץ באופן מדויק כל גודל תרמודינמי מהמודל". בהמשך נבין כיצד עושים זאת), אך הוא לא הצליח. גם הנסיון לפתור את המודל בשני ממדים כשל ולבסוף הוא פתר את המודל בממד אחד. רק ב-1944 לארס אונסגר (Onsager), טיפוס צבעוני שאני מקווה עוד לספר כמה מהסיפורים אודותיו, הצליח לפתור את המודל בשני ממדים. זהו פתרון מורכב ומסובך שאני מעולם לא למדתי. המודל בשלושה ממדים לא נפתר עד היום, והחישובים לגביו הם מקורבים בלבד תוך שימוש בשיטות נומריות כאלו ואחרות.

דוקטורנטים אשר נתקלים ביותר קשיים מאשר הצלחות במהלך המחקר האקדמי שלהם (מבט תמים לצדדים) עשויים להתנחם בעובדה שגם אייזינג לא הצליח לפתור את הבעיה שנתן לו הפרופסור שלו ונאלץ להסתפק בגרסה פשוטה יותר.

4 תגובות to “פרק 7, ובו אנחנו מגלים שהמציאות מורכבת יותר מהדרך בה תיארנו אותה עד כה, לומדים על מודלים ומהם הכללים בבנייתם, ועושים הכרות ראשונית עם מודל שילווה אותנו עוד רבות בעתיד”

  1. שי בן משה Says:

    תודה על הפוסטים המעניינים!
    שמי שי בן משה, אני תלמיד תיכון וקראתי היום את כל הפוסטים כאן בלוג, הצטערתי לראות שהם נגמרו לפני יותר מחצי שנה.
    קיוויתי למצוא עוד מידע על לגראנז'יאנים ועל המילטוניאנים מאחר וכמעט לא מצאתי מידע רלוונטי באינטרנט.

    אני אשמח מאוד אם תכתוב כאן עוד,
    ותודה שוב על הפוסטים המרתקים :)

  2. יובל Says:

    שלום שי ותודה רבה על התגובה. אני שמח לשמוע שמישהו עוד מוצא עניין בבלוג הזה ובפרט תלמיד תיכון.

    לצערי, אני לא יודע אם אמשיך לפרסם פוסטים. למעשה, הפוסט הבא כתוב כמעט כולו, אבל הוא נמצא במצב זה בערך מאז ספטמבר אשתקד, כך שאני לא יכול להבטיח שהוא יפורסם בקרוב.

  3. שי בן משה Says:

    היי יובל.
    חבל לי שלא יהיו כאן עוד פוסטים מכיוון שהכתיבה שלך מעניינת ומשעשעת.
    מעבר לכך, רציתי להבין כיצד משתמשים בלגראנז'יאנים בשני (או יותר) מימדים (לדוגמה לשם ניתוח תנועה במעגל), לא הצלחתי למצוא על זה חומר באינטרנט לצערי…

    תודה על כל המידע שהצלחתי להפיק מהפוסטים שלך,
    שי

  4. someone Says:

    כתיבה נהדרת חבר
    דיי חבל שהפסקת, מעוניין לדעת למה אבל על כל מקרה חבל
    מקווה לראות עוד יום אחד

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s


%d בלוגרים אהבו את זה: