פרק 7, ובו אנחנו מגלים שהמציאות מורכבת יותר מהדרך בה תיארנו אותה עד כה, לומדים על מודלים ומהם הכללים בבנייתם, ועושים הכרות ראשונית עם מודל שילווה אותנו עוד רבות בעתיד

הערת פתיחה: בפוסט הקודם כתבתי שסוף סוף נוכל להגדיר מהי טמפרטורה, אך כשניגשתי לכתוב את הפוסט הרלבנטי גיליתי שההצמדות לדוגמה של הכדורים המתנגשים מגבילה ומסבכת הכל. מכיוון שבכל מקרה תכננתי מתישהו להציג את הכלי אותו אני אציג כאן, החלטתי שמוטב לעשות זאת מוקדם ככל האפשר. ההגדרה וההסבר על הטמפרטורה יחכו למועד מאוחר יותר.

בפרקים הקודמים השתמשתי בדוגמה של כדורי ביליארד המתנגשים זה בזה — דוגמה אהובה על פיזיקאים. הכדורים בדוגמא שלי התנגשו זה בזה בצורה פשוטה, והתנהגו כאובייקטים נקודתיים לכל דבר ועניין. אבל זו כמובן תמונה שאינה מציאותית. הכדורים מורכבים ממספר עצום של אטומים, הקשורים זה לזה באינטראקציות בין-אטומיות, והתנגשות בין שני כדורים היא תהליך בו מספר עצום של אטומים הקרובים לפני הכדורים השונים מגיבים זה עם זה. גם ההנחה שלנו שהכדורים הם באמת כדורים אינה נכונה — במהלך ההתנגשות צורתם משתנה, לדוגמה.

מה שהשתמשנו בו היה מודל לתיאור המציאות. במודל שלנו הכדורים היו כדורים מושלמים, שאינם משנים את צורתם, והם התנגשו זה בזה בצורה פשוטה. כל מערכת פיזיקלית אמיתית מורכבת מדי מכדי לתארה בצורה מדויקת. אפילו הבעיה של רמות האנרגיה של אטום המימן, שסטודנטים לפיזיקה במהלך התואר הראשון פותרים אותה "במדויק", מבוססת על תמונה מקורבת בלבד של המציאות, שכן התמונה האמיתית מסובכת מדי. לשם כך אנחנו נזקקים למודלים. במהלך בניית המודל אנחנו זורקים החוצה חלקים גדולים מהפרטים המרכיבים את המציאות, במטרה לקבל תיאור שהוא טוב דיו כדי להסביר את התהליכים שאנחנו רואים. במקרה של כדורי הביליארד, מכיוון שאנחנו מעוניינים בסך הכל בתיאור ההתנגשויות בין האובייקטים ובמסלולים שלהם בעקבות ההתנגשויות, זו היתה הנחה סבירה להתעלם מהמבנה הפנימי המורכב של הכדורים, ולהתייחס לכל כדור כאל אובייקט יחיד. אם היינו מעוניינים לתאר מה קורה לכדור ביליארד כאשר מוחצים אותו במכבש, היינו חייבים להתייחס למבנה הפנימי שלו ולקשר בין האטומים השונים המרכיבים אותו. אופיו של קשר זה יקבע, לדוגמה, כמה כח ידרש כדי לרסק את כדור הביליארד. ברור שתיאור לפיו כדור הביליארד הוא אובייקט שבלתי ניתן לחלוקה יכשל בתסריט הזה. בדומה לכך, ואם להשתמש בדוגמה פחות אלימה, אם היינו מעוניינים לבחון כיצד הצבע נשחק מכדורי ביליארד במהלך ההתנגשות, היינו חייבים להתייחס למבנה העדין של מולקולות הצבע העוטף את הכדור.

במקרה של אטום המימן, שגם עליו אני רוצה להתעכב, התמונה מעניינת אף היא. מבלי להכנס לפרטי הפרטים של התורה הקוונטית, אנחנו בעצם מסדרים את האינטראקציות השונות המכתיבות את התנהגות האלקטרון לפי עצמתן היחסית. מה שאנו פותרים במדויק הוא את המודל המכיל את האינטראקציות הדומיננטיות ביותר (בדגש על הקשר האלקטרומגנטי בין האטום לאלקטרון). הפתרון הזה נותן תמונה ראשונית מצוינת של רמות האנרגיה. אך כאשר מסתכלים מקרוב, רואים שרמות מסוימות מתפצלות, ושנדרש דיוק נוסף אם אנחנו רוצים לתאר את הפיצול. הפיצולים נובעים משורה של אינטראקציות חלשות יותר (ואף של אפקטים יחסותיים), שאנחנו יכולים להוסיף למודל, וכל תוספת כזו משפרת מצד אחד את מידת הדיוק שלנו, אך מקשה מצד שני על הפתרון של המודל. וגם לאחר שמוסיפים את כל המורכבויות הללו, עדיין לא מתמודדים עם העובדה שהפרוטון באטום עצמו מורכב מקוורקים, לדוגמה.

אם כך, המודל הוא כלי חשוב ביותר בניסיון שלנו להבין את המציאות הפיזיקלית. הוא כלי שנועד להתמודד עם העובדה שכל תיאור מדויק לחלוטין של מערכת פיזיקלית לא יאפשר לנו לחשב שום גודל משמעותי, בשל המורכבות העצומה והפרטים המרכיבים כל מערכת אמיתית. לכן המודלים בהכרח אינם מדויקים. האתגר הוא יצירת מודל שמצד אחד יהיה מורכב מספיק כך שיצליח לתאר את התופעה הפיזיקלית שמעניינת אותנו, ומצד שני יהיה פשוט מספיק כך שנוכל לחשב מתוכו גדלים מעניינים, גם אם לא נוכל לפתור אותו במדויק.

אחד המודלים השימושיים ביותר והנפוצים ביותר במחקר פיזיקלי — ולא רק בו — הוא מודל שפותח לראשונה כדי לתאר את תופעת המגנטיות בחומר. כפי שידוע לכולנו, ישנם חומרים שלאחר שנפעיל עליהם שדה מגנטי ישארו ממוגנטים, ו-"יזכרו" את העובדה שהופעל עליהם שדה מגנטי, ויש כאלו שלא. השאלה מהי הפיזיקה המתארת את התופעה הזו היא שאלה עתיקת יומין אך למעשה רק לאחר פיתוח תורת הקוונטים ניתן היה לענות על השאלה באופן רציני. לאטומים המרכיבים כל חומר יש מומנט מגנטי המכונה "ספין", והסיבה לקיומו של מומנט זה נובעת מתורת הקוונטים ומתורת היחסות הפרטית.

ב-1925 הגיש ארנסט אייזינג (Ising) את עבודת הדוקטורט שלו בהנחיית פרופסור וילהלם לנץ (Lenz) באוניברסיטת המבורג. עבודת הדוקטורט תיארה מודל שנועד להסביר את תופעת המגנטיות של חומרים שונים. המודל הזה, שנקרא על שם אייזינג (שזכה כך לתהילת עולם), הוא מופת למעט המחזיק מרובה. על אף שהתיאור של הפיזיקה הוא כמעט קריקטורה, וההזנחות שמבוצעות בבניית המודל הן רחבות, הפיזיקה שהמודל מניב עשירה ומורכבת, ומתארת תופעות אמיתיות בצורה נהדרת.

אני אציין רק חלק מההזנחות והקירובים שעושה המודל, ואתאר זאת בתהליך מסודר ככל האפשר: האטומים בחומר אמיתי קשורים זה לזה באמצעות קשרים בין-אטומיים שונים, הקובעים את מיקומם. במקום תיאור זה מניח מודל אייזינג שריג של אטומים בעלי מיקום קבוע ולא משתנה. הספין של האטומים הוא גודל קוונטי, שצריך להיות מתואר על ידי אופרטורים מתאימים ונשלט על ידי משוואת שרדינגר. במקום זאת מודל אייזינג מניח ספינים קלאסיים — פשוט חצים בעלי גודל קבוע שמכוונים לכיוון מסוים ומתארים את כיוון המומנט המגנטי, אך בעוד הספינים האמיתיים יכולים להיות מכוונים לכל כיוון שהוא, במודל אייזינג אפילו החופש הזה נלקח מהם, ונותרים להם שני כיוונים בלבד: "למעלה" ו-"למטה", או ו- בהתאמה. במציאות הספינים באטום מסוים מקיימים אינטראקציה עם השדה המגנטי החיצוני וכן עם כל הספינים האחרים בחומר, בעצמה שתלויה במרחק ביניהם ובגורמים נוספים. במודל אייזינג הספינים מקיימים אינטראקציה רק עם הספינים השכנים להם, והאינטראקציה הזו פשוטה להחריד — שני ספינים באותו כיוון תורמים כמות אנרגיה למערכת, וספינים בכיוונים מנוגדים תורמים אנרגיה . בנוסף לכך הספינים מגיבים עם השדה המגנטי החיצוני.

אם כך, במקום עולם מורכב אנחנו נותרים עם אוסף של חצים הממוקמים על פני שריג, ויכולים כל אחד להצביע למעלה או למטה. ההמילטוניאן שמתאר את המערכת נתון על ידי הביטוי הפשוט

כאשר הוא הספין ה- וערכו הוא אחד או מינוס אחד, הסכום הראשון הוא על זוגות סמוכים של ספינים, והסכום השני הוא על כל הספינים במערכת. הוא השדה המגנטי החיצוני ו- גודל המתאר את הצימוד של הספינים לשדה המגנטי. וזהו. זה כל המודל. שימו לב מה המודל מניח — ספינים מגיבים זה עם זה כך שיש משמעות האם ספינים שכנים מצביעים לאותו כיוון או לכיוונים מנוגדים, כלומר ספינים "ירצו" להצביע לאותו כיוון כמו שכניהם או לכיוון הפוך משכניהם (ובעתיד נבין כיצד אנו יכולים לקבוע זאת), וכמו כן הספינים מושפעים מקיומו של שדה מגנטי חיצוני. מסתבר שהמודל הזה יכול להסביר הן בצורה איכותית והן בצורה כמותית מספר רב של תופעות מגנטיות.

נקודה חשובה, קריטית מאין כמוה לסיפורנו, נוגעת למימד של המערכת. אנחנו יכולים לחשוב על השריג כעל שריג חד ממדי — פשוט שורה ארוכה של ספינים. במצב כזה השכנים של כל ספין, עימם יש לו אינטראקציה, הם שניים בלבד — זה שמימינו וזה שמשאלו. בשריג דו ממדי לכל ספין ארבעה שכנים: שמאל, ימין, למעלה ולמטה. ובשריג תלת ממדי לכל ספין ששה שכנים. שום דבר לא מונע מאיתנו להמשיך ולהוסיף ממדים, ולמעשה למודל באינסוף ממדים (בו השכנים של כל ספין הם כל יתר הספינים) יש חשיבות דידקטית.

אייזינג רצה בתהחלה לפתור את המודל בשלושה ממדים (בשלב הנוכחי, "לפתור" פרושו "להצליח לחלץ באופן מדויק כל גודל תרמודינמי מהמודל". בהמשך נבין כיצד עושים זאת), אך הוא לא הצליח. גם הנסיון לפתור את המודל בשני ממדים כשל ולבסוף הוא פתר את המודל בממד אחד. רק ב-1944 לארס אונסגר (Onsager), טיפוס צבעוני שאני מקווה עוד לספר כמה מהסיפורים אודותיו, הצליח לפתור את המודל בשני ממדים. זהו פתרון מורכב ומסובך שאני מעולם לא למדתי. המודל בשלושה ממדים לא נפתר עד היום, והחישובים לגביו הם מקורבים בלבד תוך שימוש בשיטות נומריות כאלו ואחרות.

דוקטורנטים אשר נתקלים ביותר קשיים מאשר הצלחות במהלך המחקר האקדמי שלהם (מבט תמים לצדדים) עשויים להתנחם בעובדה שגם אייזינג לא הצליח לפתור את הבעיה שנתן לו הפרופסור שלו ונאלץ להסתפק בגרסה פשוטה יותר.

פרק ראשון, ובו מקבל הקורא הסבר ראשוני על מהי רנורמליזציה ומה מעניין בה

בפוסט הזה אני אנסה להציג, תוך נפנופי ידיים מסיביים ככל האפשר ותוך שימוש בכמה שפחות מונחים טכניים, מהי בגדול אותה רנורמליזציה, איפה אולי שמעתם עליה (או על התוצאות שלה) ולמה זה אמור בכלל לעניין מישהו.

אם כך — מהי רנורמליזציה?

לכאורה, רנורמליזציה היא בסך הכל טכניקה. טכניקה שמאפשרת לנו להסתכל על מערכות מורכבות כלשהן, ולחלץ מתוכן את ההתנהגות שלהן בטווחים שונים. בבסיס הטכניקה עומד התהליך בו אנו מנפּים דרגות חופש של המערכת בצורה זהירה, ובוחנים כיצד המערכת "זורמת" תחת השינוי הזה. מכאן אפשר כבר לנחש שיש בטכניקה הזו הרבה יותר מסתם מניפולציה מתמטית. כשאנחנו מטפלים כך במערכות פיזיקליות, אנחנו בעצם נוגעים בנושאים כמו הסימטריות של המערכת, הפאזות שלה, הגדלים הרלבנטיים. אפשר לומר שהטכניקה הזו, יותר מכל טכניקה אחרת, יכולה לחשוף את האופי האמיתי של המערכת הפיסיקלית.

מי ששמע בעבר על רנורמליזציה, עשוי לקמט את מצחו בשלב הזה. טכניקת הרנורמליזציה התפרסמה, וגם קיבלה את שמה, כטכניקה בה אנו נפטרים מגדלים אינסופיים שצצים לנו בכל מני חישובים. סוג של "הוקוס פוקוס" שמאפשר לנו לבטל את אותם אלמנטים שהפריעו לנו לחלץ גדלים פיסיקליים מדידים מתוך תורת-השדות שמתארת את החלקיקים התת אטומיים, לדוגמה. פול דיראק, אחד מגדולי הפיסיקאים של המאה ה-20, ידוע בתור אחד שמתח ביקורת חריפה על אותה טכניקה של ביטול-אינסופים, כפי שהרנורמליזציה נתפסה אז. הוא הקביל זאת ל-"הינדוס תוצאות" (תרגום שלי ל-doctoring up numbers). אבל במהלך השנים התברר שהרנורמליזציה שצצה בתורת השדות הקוונטית, זו שנראתה לדיראק כל כך בעייתית, היא חלק מתמונה גדולה יותר ומסודרת יותר. היא לא כוללת סתם תהליך בו אנחנו נפטרים מגודל אינסופי כי הוא לא מתאים לנו — למרות שבמובן מסוים כך היא נולדה — יש לה בסיס פיסיקלי שלא קשור לאותם גדלים אינסופיים וכולל, מלבד תורת השדות הקוונטית, גם מעברי פאזה קלאסיים ועוד שלל תופעות באמצע.

וכאן מגיעה השאלה הקשה — למה כל זה אמור לעניין אתכם?

התשובה היא שאין לי מושג. אני יודע שהנושא מעניין אותי, ויש סיכוי שהוא יעניין סטודנטים לפיסיקה (בתואר ראשון או בתארים מתקדמים). אני מקווה שאנשים שמתעניינים במדע ורוצים להעמיק מעט את הידע, או להרחיב אותו — תלוי מאיזה כיוון מסתכלים על זה — ימצאו גם הם עניין כאן. יכול להיות שאני טועה, אבל סיפרו לי שהאינטרנט סובל הכל, אז הפוטנציאל לאסון כאן הוא די קטן.

בפרק הבא אשתדל להתחיל ממש מההתחלה, ולדבר על איך אנחנו בכלל ניגשים לתאר מערכת פיסיקלית.