פרק חמישי, ובו אנחנו לומדים להכיר מערכות מורכבות יותר, ובין היתר מכירים את מושג האנטרופיה ומוכיחים את החוק השני של התרמודינמיקה

(ברצוני להודות לשחר מ-"תודעה כוזבת" על הערותיו מאירות העיניים, אשר סייעו בכתיבת הפוסט)

עד כה, כשדיברנו על המטרה שלנו כתיאור ההתנהגות של המערכת, דרשנו שנוכל להגיד איפה כל גוף בה נמצא בכל רגע נתון. כלומר שעבור כל גוף נוכל לכתוב את המיקום שלו כפונקציה של הזמן. אם אנחנו חושבים על המערכת כמכילה כוכב לכת המקיף את השמש, או על כמה כדורים שמתנגשים זה בזה, הרי שהמצב פשוט יחסית. אבל מה קורה אם מספר הגופים הוא עצום? מה קורה אם אנחנו מדברים לא על גוף אחד או שניים אלא על גופים — שזהו פחות ממספר האטומים שיש בגרם אחד של מימן? רק כדי שאפשר יהיה לקבל פרורפוציה על גודלו של המספר הזה, מאז שנוצרה מערכת השמש חלפו כ- שניות — אחד חלקי מיליון ממספר הגופים במערכת שלנו. במערכת כזו, ברור שאין טעם לדבר על מיקומו של כל גוף בכל זמן שהוא. גם אם היינו יכולים לכתוב את אוסף הפונקציות האלה לא היינו ממש יודעים מה לעשות איתו. בדיוק כדי לטפל במערכות כאלו נולדה המכניקה הסטטיסטית. במכניקה סטטיסטית אנו זונחים את הרעיון לפיו התיאור הרצוי של המערכת הוא תיאור המיקום של כל אחד מהגופים, ועוברים לעסוק בתכונות של המערכת כולה. אלו הם גדלים סטטיסטיים במובן שכל אחד מהחלקיקים הרבים שמרכיבים את המערכת תורם להם.

מכיוון שעלינו לוותר על שאלות הנוגעות לגופים ספציפיים בתוך המערכת, ולעבור לגדלים סטטיסטיים על המערכת כולה, אנחנו צריכים לדעת כיצד לבחור את התיאור הנכון של המערכת. נביט, בתור דוגמה למערכת פשוטה, על אוסף של כדורי ביליארד המתנגשים זה בזה על גבי שולחן בעל צורה כללית כלשהי. נניח שהכדורים אינם מאבדים אנרגיה — כלומר שאין חיכוך בינם לבין השולחן ושאנרגיה לא אובדת בהתנגשויות ביניהם. אם כך, ברור לנו שהאנרגיה הכוללת של המערכת נשמרת ולא משתנה בזמן. אבל ישנן מערכות רבות החולקות את אותה האנרגיה: אנחנו יכולים לחשוב על מצב בו כל הכדורים נמצאים במנוחה ורק כדור אחד נע במהירות עצומה, או על מצב בו לכל הכדורים פחות או יותר מהירות זהה שהיא אך שבריר ממהירותו של הכדור במצב הראשון שתואר. ובין שני מצבי הקיצון הללו ישנו רצף עצום ורב של מצבים שונים המייצגים התפלגות שונה של המהירויות. מבחינה אינטואיטיבית ברור לנו שאם נתחיל עם מערכת בה כל הכדורים נמצאים במנוחה ורק לכדור אחד מהירות גבוהה מאוד, הרי שכעבור זמן מה הוא יתנגש בכדורים אחרים, יעביר אליהם ממהירותו וכך אט-אט המערכת תתקרב יותר למצב בו כל הכדורים נעים והאנרגיה מתחלקת באופן שוויוני יותר בין כולם. האינטואיציה הזו, כמובן, אינה נכונה תמיד, ובהמשך אני ארחיב מעט על מערכות בהן התהליך הזה אינו מתרחש, אבל עבור מערכת כללית התיאור הזה יחסית מדויק. כיצד אנו יכולים לתאר את האינטואיציה הזו בצורה מתמטית?

נביט על אוסף כל המצבים שמאופיינים באנרגיה . עם חלוף הזמן מערכת בעלת אנרגיה "מטיילת" בין המצבים השונים באוסף. כלומר אם בזמן כלשהו המערכת היתה במצב עם התפלגות מהירויות מסוימת, הרי שכעבור זמן מה, ובעקבות התנגשויות בין הכדורים, התפלגות המהירויות תשתנה. כעת נניח הנחה — שהיא כלל אינה טריביאלית — ולפיה אנו לא יכולים להעדיף מצב אחד באוסף על פני רעהו. כלומר אם יש לנו מצבים בעלי אנרגיה זהה, הרי שהסיכוי שהמערכת תהיה באחד מהם ברגע נתון הוא . אם אנחנו רוצים להסתכל על גודל המאפיין את המערכת לאורך פרק זמן מסוים אנחנו יכולים להחליף את המיצוע על פני זמן במיצוע על פני אוסף דמיוני של הרבה מערכות, שהמצב של כל אחת מהן נבחר באקראי מבין אוסף כל המצבים בהסתברות שווה. זוהי, פחות או יותר, ההנחה היחידה שאנחנו צריכים להניח כדי להסיק את מרבית המכניקה הסטטיסטית. הבה נראה לאן אנחנו יכולים להגיע בעזרתה.

נגדיר כעת גודל, שנקרא האנטרופיה של המערכת, שפשוט מתאר כמה מצבים יש בעלי אנרגיה מסוימת. מסיבות טכניות, האנטרופיה היא לא מספר המצבים אלא הלוגריתם של המספר הזה (מי שלא זוכר מהו לוגריתם מוזמן ללחוץ על הקישור להסבר פשוט)

כש- הוא מספר המצבים בעלי אנרגיה . מושג האנטרופיה הוא מושג פופולרי מאוד, שזכה לתפוצה רחבה מחוץ לפיזיקה ואומץ במגוון של תחומים (תורת האינפורמציה, לדוגמה). באופן פופולרי נוטים לעתים להצביע על האנטרופיה כגודל שמסביר כמה "אי-סדר" יש במערכת, וכתיאור פופולרי זהו אכן הסבר לא רע, אבל כדאי לזכור שאנטרופיה היא גודל פיזיקלי עם הגדרה יחסית קשיחה מבחינה מתמטית. אני מקווה שבהמשך הפוסט יתבהר הקשר הזה בין ההגדרה המתמטית לעיל לבין ההסבר הפופולרי והאינטואיטיבי למושג.

כעת נחלק את המערכת הדמיונית שלנו לשני חלקים, אחד בעל אנרגיה והשני בעל אנרגיה . מהו הסיכוי שנמצא את שני חלקי המערכת עם ערכי אנרגיה כאלו? כמובן שהסיכוי פרופורציונלי למספר המצבים הקיימים בהם האנרגיה מתחלקת כך. מספר המצבים מתקבל ממכפלת מספר המצבים בהם לתת המערכת הראשונה אנרגיה ולתת המערכת השניה אנרגיה

המספר הזה הולך וגדל ככל שהסכום הולך וגדל. כלומר שהסיכוי למצוא את המערכת במצב מסוים יהיה גבוה יותר ככל שהאנטרופיה של חלקי המערכת השונים תהיה גבוהה יותר. הכלל הזה ידוע בתור החוק השני של התרמודינמיקה. זהו התיאור המתמטי המקביל לאינטואיציה האומרת לנו שאם נתחיל ממערכת "מסודרת" מאוד, בה כל האנרגיה מרוכזת בכדור אחד, אחרי זמן מה נקבל מערכת "מבולגנת" בה כל הכדורים נעים במהירות פחות או יותר זהה. הסיבה לכך היא שיש הרבה יותר מצבים בהם כל הכדורים נעים מאשר רק כדור אחד נע, והסיכויים לכך מתנהגים בהתאם. כמה "הרבה יותר" מצבים? ככל שהמערכת גדולה יותר — וכזכור אנו עוסקים במערכות ענקיות — הרי שהתפלגות הסיכויים לחלוקת אנרגיה מסוימת ולא אחרת היא חדה יותר סביב ערכים ספציפיים.

הבה נמחיש ונסביר את ההתנהגות הזו באמצעות פישוט הדוגמה שלנו. במקום מהירויות שיכולות לקבל כל ערך שהוא, נניח שיש לנו מספר מסוים של מנות של אנרגיה שאנחנו יכולים לחלק בין הכדורים. כעת, נשאל כיצד מתפלג סך האנרגיה של קבוצת כדורים קטנה מסוימת. נתחיל במספרים קטנים יחסית: אם יש לנו מנות אנרגיה, כדורים ואנחנו מעוניינים לדעת מהם הסיכויים שכדור אחד מסוים יקבל ערכי אנרגיה שונים? הכדור יכול להיות חסר אנרגיה, במקרה הזה אנחנו צריכים לחלק את מנות האנרגיה בין שני הכדורים האחרים, ויש דרכים שונות לעשות זאת (ספרו!). כעת לכדור יכולה להיות מנת אנרגיה בודדה, ואנחנו צריכים לחלק את שלוש מנות האנרגיה הנותרות בין שני הכדורים הנותרים, פעולה שיש דרכים שונות לעשות. באופן דומה, שתי מנות אנרגיה לכדור יתקבלו משלוש דרכים שונות; יש שתי דרכים שונות בהן לכדור תהיינה שלוש מנות אנרגיה ולבסוף רק סיטואציה אחת בה לכדור כל מנות האנרגיה — במקרה הזה שני הכדורים האחרים נותרים מיותמים. אם נסדר את התוצאות בטבלה, היא תראה כך

כאשר העמודה השלישית מתארת את החלק היחסי של האנרגיה שיש לכדור שלנו מכלל האנרגיה במערכת, והעמודה הרביעית את הסיכוי של כל תרחיש, כאשר הסיכוי נורמל בצורה קצת יוצאת דופן — התרחיש הסביר ביותר קיבל את הערך וסיכויי התרחישים האחרים חושבו ביחס אליו. במבט ראשון, הטבלה עשויה לסתור את האינטואיציה הטבעית שלנו, שאומרת שרוב הסיכויים הם שלכדור יהיה בערך שליש מכלל האנרגיה. ביחס לממוצע, האינטואיציה שלנו עדיין נכונה (ממוצע האנרגיה היחסית שיהיה לכדור הוא בדיוק שליש), אבל התרחיש הסביר מכולם הוא דווקא שלכדור לא תהיה כלל אנרגיה.

אבל זו מערכת קטנה מאוד, ומיותר להשתמש במכניקה סטטיסטית כדי לנתח אותה. מה יקרה כאשר נגדיל את המערכת? נניח שיש לנו מנות של אנרגיה, כדורים ואנחנו מעוניינים בהתפלגות האנרגיה היחסית של כדורים (שימו לב שמדובר ביחסים זהים לאלו בתסריט שחושב לעיל). חישבתי את ההתפלגות הזו עבור ערכי הולכים וגדלים והתוצאות מוצגות בגרף הבא. ציר הוא שיעור האנרגיה היחסית של קבוצת הכדורים, וציר הוא הסיכוי המנורמל שזו תהיה האנרגיה, הקו האנכי השחור מציין המצב בו שליש מהאנרגיה הכוללת במערכת נמצאת באותם כדורים

כפי שניתן להתרשם, ככל שהמערכת גדלה כך הסיכויים הולכים ומתמקדים סביב הערך של שליש, וכבר במערכת קטנה יחסית של מנות אנרגיה, המתחלקות על פני 192 כדורים, ההתפלגות היא חדה מאוד. כך שהסיכוי שנמצא את המערכת באותה חלוקה לא-סבירה של אנרגיה — בה מעט כדורים זוכים להרבה אנרגיה — מתקרב במהירות לאפס. לא פירטתי את הדרך בה חישבתי את ההתפלגות — זהו תרגיל נחמד בקומבינטוריקה שאני ממליץ לקוראים להשתעשע בו (אפשר לבקש רמזים בתגובות).

בתור דוגמה נוספת, יום-יומית ואולי אינטואיטיבית יותר, אפשר לחשוב על כוס קפה שהונחה בחדר. המצב הראשוני הוא בו הרבה אנרגיה מרוכזת בכוס, אך עם חלוף הזמן האנרגיה מתחלקת פחות או יותר שווה בשווה בין חלקי החדר השונים. למרות שיכול להיות מצב בו דווקא ההפך יקרה — כלומר שהאנרגיה מחלקי החדר תתרכז לכוס (והקפה יתחמם מחדש) — הרי שזה טרם קרה לי, ואני מנחש שגם הקוראים טרם חוו חוויה כזו. כשאנחנו מסתכלים על הגרף למעלה, אנחנו יכולים להבין את הסיבה לכך.

בפוסטים הבאים אני מקווה להמשיך ולפתח את הנושא של מכניקה סטטיסטית, ובין היתר להגדיר את אותו גודל חמקמק שנקרא "טמפרטורה". אבל לפני שנמשיך ראוי להזכיר את המצבים המעניינים בהם הכלים הסטנדרטים של המכניקה הסטטיסטית מכשילים אותנו. נניח ששולחן הביליארד שלנו אינו בעל צורה אקראית, אלא מלבן. ונניח שאנחנו מרכזים יפה את כל הכדורים מלבד אחד בפינה אחת שלו, ולכדור הנותר אנו נותנים מהירות כך שהוא פשוט ינוע בין שני קירות מנוגדים של השולחן, בלי להתקרב לאוסף הכדורים שנח בפינה. ברור שבמצב כזה המערכת לא "מטיילת" בכל מרחב המצבים שווי האנרגיה, ושגם כעבור זמן אינסופי נוותר בדיוק באותו המצב. קיימים שני סוגים של מערכות פיזיקליות מעניינות בעלות תכונה זו — הן נמצאות רק בחלק ממרחב המצבים. סוג אחד נקרא מערכות "לא-ארגודיות" והסוג השני מערכות "אינטגרביליות", וראוי להקדיש לכל אחת מהן פוסט משל עצמן. אבל עוד חזון למועד.

פרק שלישי, ובו אנחנו נותנים לגופים לנוע, צוללים קצת לתוך המתמטיקה שמאחורי הדינמיקה ופוגשים בטווידלדי וטווידלדם של הפורמליזם הפיזיקלי, הם הלגרנז'יאן וההמילטוניאן

את הפרק הקודם חתמנו בכך שביקשנו לתאר את מצב המערכת בכל רגע נתון, באמצעות תיאור המיקום של כל אחד מהגופים המרכיבים אותה. במלים אחרות, אפשר לומר שאנחנו מחפשים את אוסף הפונקציות , קרי — פונקציות שלכל זמן מתאימות את מיקום הגופים. בהמשך הדרך נפגוש גם מערכות בהן נחפש דברים אחרים, או מערכות שתיאור כזה לא רלבנטי עבורן, אבל לעת עתה זוהי נקודה מספיק כללית כדי שנוכל להשתמש בה כעוגן להמשך החקירה שלנו.
כעת אנחנו יכולים רגע להרהר בשאלה כיצד אנחנו יכולים להשיג מטרה כזו? המערכת מתחילה ממצב מסוים, שידוע לנו (נניח — באמצעות תצפית או כי כך הכנו את המערכת) . בנוסף לכך, חשוב שזמן נדע גם מהן המהירויות של כל הגופים — לא דין מערכת בה שני גופים נעים זה לקראת זה כדין מערכת בה שני גופים נעים בכיוונים הפוכים. כעת, כל מני כוחות שפועלים על האובייקטים גורמים להם לשנות את מיקומם ולנוע. כדי להסיק את מצב המערכת בכל רגע נתון, אנחנו צריכים לדעת מחד מהם החוקים והמשפטים הקושרים בין הכח שפועל על גוף לבין תנועתו, ומאידך מהם הכוחות הקיימים במערכת.
את החוקים הקושרים בין כוחות ואינטראקציות לבין אובייקטים חוקרים פיזקאים החל מקיום הפיזיקה המודרנית. כנראה שהחוק המפורסם ביותר מסוג זה הוא החוק השני של ניוטון לפיו תחת כח, גוף יאיץ באופן פרופורציונלי לגודל הכח ולכיוונו, כאשר קבוע הפרופורציה מכונה המסה של הגוף. בניסוח מתמטי, ניתן לכתוב

כאשר הוא הכח הפועל על הגוף, היא מסתו ו- היא התאוצה שלו. מכיוון שאנחנו רוצים לבטא את כל הגדלים המציינים את מיקום האובייקטים, ובכללם תאוצה, באמצעות אותו אוסף של -ים אנחנו נשתמש בסימון . נקודה מעל משתנה כלשהו מציינת גזירה לפי הזמן. לכן היא המהירות של הגוף — שכן היא הנגזרת הראשונה של המיקום ביחס לזמן, ושתי נקודות תציינה את הנגזרת השניה, או הנגזרת של המהירות, שהיא התאוצה.
מאז ניסוח החוק השני של ניוטון חלפו אי אלו מאות שנים, במהלכן הניסוח איבד את מעמדו כחוק בסיסי (מלבד בלימודי השנה הראשונה באוניברסיטה). במהלך השנים הללו התפתח פורמליזם נוח יותר, כללי יותר — במובן שהוא יכול לתאר יותר תופעות — שהחוק השני הוא בסך הכל אחת מהתוצאות שלו. הפורמליזם הזה מסתמך על מושג האנרגיה (לפחות בשלב הראשון). אם אנחנו יודעים לכתוב ביטויים שיתארו את האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של המערכת כפונקציה של המצב שלה — וזה משהו שאנחנו אמורים לדעת לעשות אם אנחנו יודעים מהן האינטראקציות השונות שקיימות בין האובייקטים השונים ובכלל — אז נדע לגזור מביטוי כזה (או, ליתר דיוק מביטוי דומה לו) את כל כללי התנועה.
כדי לעשות זאת אנחנו מציגים את פונקציית הלגרנז'יאן . הלגרנז'יאן של מערכת הוא פונקציה של מיקום כל האובייקטים שבה, ושל מהירויות כל האובייקטים בה (וגם, באופן כללי, עשויה להיות תלויה מפורשות במשתנה הזמן)

כך שעבור כל קונפיגורציה כזו של המערכת, הלגרנז'יאן הוא ההפרש בין האנרגיה הקינטית לבין האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת.
בפסקאות האחרונות הפרחתי לחלל האוויר הוירטואלי שני מושגים חדשים, ואני מבקש להתעמק רגע במונחים הללו.
הגודל הפיזיקלי שנקרא "אנרגיה" עשוי להראות חמקמק, גם לבעלי ידע פיזיקלי כלשהו. לרוב, בלימודי הפיזיקה, מתחילים מהמושג של "כח", אותו מגדירים, פחות או יותר, באמצעות החוק השני של ניוטון. אחר כך מראים שבאמצעות החוק השני של ניוטון אפשר להגדיר "עבודה" שמבצע כח, ו-"אנרגיה קינטית" היא הגודל שמושפע מהעבודה שמבצע כח על גוף כלשהו. אם הכח נופל תחת הקטגוריה של כח משמר, אנחנו לומדים שאפשר להגדיר "אנרגיה פוטנציאלית" וממשיכים להראות איך הסכום של שתי האנרגיות — פוטנציאלית וקינטית — נשמר תחת פעולת הכח. תחת ההגדרות הללו, האנרגיה הקינטית של גוף מתקבלת מהנוסחה

האנרגיה הפוטנציאלית תלויה באינטראקציות בין האובייקטים השונים ובכוחות שפועלים במערכת, וניסוחה משתנה כתלות בהם. לדוגמה, האנרגיה הפוטנציאלית של גוף הקשור לקפיץ בעל קבוע קפיץ נתונה על ידי הנוסחה

כש- הוא מיקום קצה הקפיץ כאשר הוא רפוי. אבל זו כרגע סתם דוגמה (אם כי פופולרית מאוד).
על פניו, הייתי יכול לטעון פשוט שבניגוד למתמטיקה, בה יש לנו חופש לבחור אקסיומות, בפיזיקה אנחנו מתארים את העולם, ולעתים אנחנו צריכים לקבל דברים כי פשוט "ככה הם". ואכן – יש מספר דברים שנאלץ לקבל כי פשוט "ככה הם". אבל מסתבר, וזה אחד הדברים היפים בפיזיקה, שיש הרבה עובדות שבתחילה נראו לנו פשוט כמו משהו שהטבע בחר באופן שרירותי, אבל בעצם הן נובעות מאלמנטים בסיסיים הרבה יותר. אחת מהם הוא הגדרת האנרגיה והקשר שלה לתנועת המערכת. כבר בפוסט הבא אני מקווה שאוכל לתת מספר דוגמאות לכך.
בכל מקרה, אמנם הגדרנו את אותה פונקציית לגרנז'יאן מסתורית, אבל עוד לא אמרנו איך אנחנו יכולים להסיק ממנה את תנועת המערכת.
המערכת שלנו יכולה לנוע בכל מני מסלולים שונים, המוגדרים, כזכור על ידי אוסף הפונקציות . נניח שאנחנו מסתכלים על פרק הזמן המתחיל ב- ומסתיים בזמן . לכל מסלול אפשרי בפרק הזמן הזה נצמיד מספר, שנקרא הפעולה:

כלומר הפעולה היא בסך הכל האינטגרל על הלגרנז'יאן של המערכת כאשר היא עושה מסלול מסוים. כאן אנחנו מגיעים לאחד מאותם חוקים בודדים שאותם עלינו לקבל כי פשוט "ככה הם": המערכת תנוע במסלול בו הפעולה שלה היא המינימלית מבין כל האפשרויות. זהו עקרון הפעולה המינימלית.
אני מבקש לעצור כאן לרגע, לפני שנמשיך הלאה: מדובר בעקרון כל כך בסיסי, שלמעשה את כל הפיזיקה הקלאסית אפשר לבסס עליו. כאשר תורת הקוונטים פותחה במהלך המאה ה-20, הוקדשו מאמצים ונסיונות רבים לבסס אותה על עקרון דומה, עד שלבסוף ריצ'רד פיינמן הצליח בכך, ולמעשה הראה שעקרון הפעולה המינימלית הקלאסי מתקבל מתוך הגרסה הקוונטית שלו. אחד המרצים שלי בתואר הראשון כינה את החוק אליו הגיע פיינמן בשם "חוק החוקים", כי ממנו, בנוסף לעוד מספר קטן של הנחות יסוד, אפשר להסיק את כל הפיזיקה המודרנית.
מתוך העקרון הזה, ישנן מספר דרכים שקולות לגזור משוואות, שפתרונן יספק לנו את אותו אוסף הפונקציות המתארות את תנועת המערכת. אולי ארתיע מספר קוראים, אבל אני חושב שראוי להציג לפחות אחת מהדרכים הללו, והיא משוואות אוילר-לגרנז'. קוראים שאינם מתעניינים בניסוחים המתמטים וצירוף המלים "משואות דיפרנציאליות" נשמע להם כמו קללה, מוזמנים לדלג לפסקה הבאה. אפשר להראות שאם אוסף הפונקציות שלנו מקיים את אוסף המשוואות הדיפרנציאליות מסדר שני

אזי המסלול שהן תתארנה יציית לעקרון הפעולה המינימלי. כלומר — הפעולה שתתואר על ידי המסלול הזה תהיה המינימלית מבין הפעולות האפשריות. אני אפנה את תשומת לב הקוראים שנותרו עימי כאן שמדובר ב- משוואות דיפרנציאליות מסדר שני (אפשר גם לחשוב עליהן בתור משוואות שכן כל משוואה היא עבור שלושה רכיבים שונים של הוקטור ) ואנחנו מספקים להן אכן תנאי התחלה — אוסף כל המיקומים בזמן אפס ואוסף כל המהירויות בזמן אפס.
קיים ניסוח שקול נוסף לעקרון הפעולה המינמלית, ניסוח שהוא מאוד פופולרי ומאוד שימושי, ולמעשה ברוב המקרים אנחנו כנראה נתמקד בו ולא בניסוח הלגרנז'יאני. קודם כל נגדיר משתנה שנקרא תנע

וכעת, באמצעות פעולה מתמטית פשוטה על הלגרנז'יאן נגדיר את הפונקציה האחות שלו — שנקראת המילטוניאן:

וראוי לשים לב שההמילטוניאן הוא פונקציה של הגודל החדש שהגדרנו ושל המקום בלבד (ולא של המהירויות). בתור תרגיל חביב לקוראים שמעוניינים בכך, קל להראות שמשוואות אוילר-לגרנז' שקולות למשוואות המילטון, שמתארות את הדינמיקה בפורמליזם של ההמילטוניאן:

אפשר לקחת נשימה עמוקה — גמרנו עם הפורמליזם המתמטי היבש לעת עתה. חשוב להבין שכל הניסוחים שלמדנו, וגם ניסוחים נוספים שעליהם דילגנו, שקולים זה לזה ונובעים זה מזה. במובן הזה הם דומים לתאומים טווידלדי וטווידלדם, שאומרים אותו דבר, רק בצורות אחרות. זוג התאומים הזה ילווה אותנו רבות בהמשך מסענו, וידריך אותנו לאורכה. אני מקווה שהם יאירו פנים יותר מזוג התאומים שאליס פגשה. בפוסט הבא אני מתכנן להתחיל לדבר על אחד הנושאים היפים יותר שיש בפיזיקה, והוא הקשר בין הסימטריות בטבע לבין גדלים פיזיקליים.